2025届天津市杨村第一中学数学高一下期末综合测试试题含解析.doc

2025届天津市杨村第一中学数学高一下期末综合测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则( ).
A． B． C． D．
2．与直线垂直于点的直线的一般方程是 （ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？
A．180 B．160 C．90 D．360
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）

A．5 B．4 C．3 D．9
6．设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）
A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素
7．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
8．中，角所对的边分别为，已知向量，，且共线，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为
A．112 B．51 C．28 D．18
10．已知，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自
动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，
某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为
________元.（精确到1元）
12．若，且，则的最小值是______.
13．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．
14．若，则函数的值域为________.
15．在等差数列中，公差不为零，且、、恰好为某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于____________．
16．已知函数（，）的部分图像如图所示，则函数解析式为_______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求当时自变量的取值集合.
18．设的内角所对的边分别为，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
19．甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
20．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和，，求数列，的前项和.
21．某家具厂有方木料90，五合板600，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l，五合板2，生产每个书橱而要方木料0.2，五合板1，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（2）怎样安排生产可使所得利润最大？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
求解一元二次不等式的解集，化简集合的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出.
【详解】
因为，
所以，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.
2、A
【解析】
由已知可得这就是所求直线方程，故选A.
3、A
【解析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论。
【详解】
设批米内夹谷约为x石，则
，
解得：
选A。
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值。
4、B
【解析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．
【详解】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．
5、B
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.
【详解】
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，不满足进行循环的条件；
故选：B
本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.
6、A
【解析】
设复数分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.
【详解】
解：设复数
，
，
，
，

故由以上的数组成的集合最多有，，这个元素，
故选：
本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.
7、D
【解析】
分析：由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论．
详解：
圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.
点睛：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
8、D
【解析】
由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解．
【详解】
∵共线，∴，即，
，
，
整理得，
所以或，
或或（舍去）．
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D.
本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质．解题时不能随便约分漏解．
9、C
【解析】
根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.
【详解】
由等差数列的通项公式结合题意有: ，解得：，
则数列的前7项和为: ，
故选：C.
本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.
10、B
【解析】
由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得.
【详解】

故选B.
本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、218660
【解析】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元，计算即可求出结果.
【详解】
20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元,
元.
故填218660.
本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金利率，利率是一年年利率，是存款年数，代入公式计算即可求出本息和，属于中档题.
12、8
【解析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】
因为（即 取等号），
所以最小值为.
已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
13、6
【解析】
设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出．
【详解】
数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，
即解得，则公比，∴，
则 ，
∴，即，得，此时正整数的最大值为6.
故答案为6.
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14、
【解析】
令，结合可得，本题转化为求二次函数在的值域，求解即可.
【详解】
，.
令，，则，
由二次函数的性质可知，当时，；
当时，.
故所求值域为.
本题考查了函数的值域，利用换元法是解决本题的一个方法.
15、4
【解析】
由题意将表示为的方程组求解得，即可得等比数列的前三项分别为﹑、，则公比可求
【详解】
由题意可知，，又因为，，代入上式可得，所以该等比数列的前三项分别为﹑、，所以.
故答案为：4
本题考查等差等比数列的基本量计算，考查计算能力，是基础题
16、y＝sin（2x+）．
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值答案可求
【详解】
根据函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的部分图象，
可得A＝1，•，
∴ω＝2，
再结合五点法作图可得2•φ＝π，
∴φ，则函数解析式为y＝sin（2x+）
故答案为：y＝sin（2x+）．
本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值难度中档．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】
（1）由辅助角公式可得，再求周期即可；
（2）由求出，再解方程即可.
【详解】
解：（1）
，
则的最小正周期为.
（2）因为，所以，即，
解得.
因为，所以.
因为，所以，即，
则或，
解得或.
故当时，自变量的取值集合为或.
本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以
分别代入得解得
（Ⅱ）由得，
因为所以
所以
【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.
19、 (1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：（1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为，甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.根据平均数，方差的公式代入计算得解(2) 由可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
试题解析：
(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:10分,13分,12分,14分,16分;
乙:13分,14分,12分,12分,14分.
=13,
=13,
×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)由可知乙的成绩较稳定.
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
20、（1），（2）
【解析】
（1）根据题意得到，解方程组即可.
（2）首先根据，得到，再利用错位相减法即可求出.
【详解】
（1）有题知
，解得.
所以.
（2）当时，，
当时，.
检查：当时，.
所以，.
①，
②，
①②得：
，
.
本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查利用错位相减法求数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
21、 (1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大
【解析】
（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，由此可得最大值；
（2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则 ，，由线性规划知识可求得的最大值．即作可行域，作直线，平移此直线得最优解．
【详解】
由题意可画表格如下：

方木料（）
五合板（）
利润（元）
书桌（个）
0.1
2
80
书橱（个）
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则， ∴ ∴
所以当时，(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元
(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则 ，∴
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域

作直线，即直线．
把直线l向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，
此时取得最大值
由解得点M的坐标为.
∴当，时，(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大
所以当，时，．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
本题考查简单的线性规划的实际应用，解题时需根据已知条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目标函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．