2025年江苏省南京十三中数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年江苏省南京十三中数学高一下期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若 (m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是(　　)

A． B．
C． D．
3．设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=
A． B．2 C． D．3
4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知均为实数，则 “”是“构成等比数列”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．sin300°的值为
A． B． C． D．
9．若平面α∥平面β，直线平面α，直线n⊂平面β，则直线与直线n的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
10．已知，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．
12．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

13．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．

14．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______
15．函数的反函数是______.
16．某学校成立了数学，英语，音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图.现随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是____.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
19．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系均近似地满足函数.

（1）根据图象，求函数的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟小时投产，求的最小值.
20．已知数列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求实数m的取值范围.
21．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年，为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．
【详解】
∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个打电话给甲的概率为．
故选：B．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
2、C
【解析】

设，则
又

当且仅当时取等号，故选
点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．
3、A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3nS2n成等比，（Sn≠0）
所以，选A
4、D
【解析】
本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
5、C
【解析】
，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.
【详解】
A：由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
D：由，可得，所以D是正确的，
故选：C.
本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
6、A
【解析】
解析：若构成等比数列，则，即是必要条件；但时，不一定有成等比数列，如，即是不充分条件．应选答案A．
7、D
【解析】
特值,利用排除法求解即可.
【详解】
因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D
不等式恒成立问题有两个思路：
求最值，说明恒成立
参变分离，再求最值。
8、B
【解析】
利用诱导公式化简，再求出值为.
【详解】
因为，故选B.
本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.
9、D
【解析】
由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论．
【详解】
平面α∥平面β，可得两平面α，β无公共点，
即有直线与直线也无公共点，可得它们异面或平行，
故选：D．
本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题．
10、C
【解析】
由,可得成等比数列，即有＝4；讨论成等差数列或成等差数列，运用中项的性质，解方程可得，即可得到所求和．
【详解】
由，可得成等比数列，即有＝4，①
若成等差数列，可得，②
由①②可得，1；
若成等差数列，可得，③
由①③可得，1．
综上可得1．
故选：C．
本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.
【详解】
由等比中项的性质可得，得，所以，，，
故答案为.
本题考查等比数列公比的计算充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.
12、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.
13、
【解析】
先求出，再化简得即得的取值范围.
【详解】
由题得OM=,
由题得
由题得.
.
所以的取值范围是.
故答案为
本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14、
【解析】
由题意可得， 解得 ．
∴等差数列 的前三项为-1，1，1．
则 1．
故答案为 ．
15、，
【解析】
求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.
【详解】
，则，
由可得，，
因此，函数的反函数是，.
故答案为：，.
本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
由题中数据，确定课外小组的总人数，以及恰好属于2个小组的人数，人数比即为所求概率.
【详解】
由题意可得，课外小组的总人数为，
恰好属于2个小组的人数为，
所以随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是.
故答案为
本题主要考查古典概型，熟记列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列
通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时， ，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为，所以

（ ）
由得，
两式作差得， ，
即 ，故．
本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用．
19、（1）；（2）4
【解析】
（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，从而即可得到本题答案；
（2）由题，得恒成立，等价于恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
（1）解：由图知，
又，可得
，代入，得，
又，
所求为
（2）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为：
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

两企业用电负荷量之和
，
依题意，有恒成立
即恒成立
展开有恒成立

其中，，，

整理得：
解得
即
取得：
的最小值为4.
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
20、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}
【解析】
（1）由已知，根据递推公式可得，，……，，所有式子累加可得；
（2）在（1）得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围.
【详解】
（1）由已知，根据递推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，
由累加法得，当n≥2时，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，
代入a1＝1得，n≥2时，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），
又a1＝1也满足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.
（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.
因为3﹣2（）n﹣1＞0，
所以，
当n为奇数时，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；
当n为偶数时，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，
所以3﹣2（）n﹣1最大值为4，最小值为1.
对于任意的正整数n都有成立，
所以1≤m.
即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.
本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题
21、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出.
试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜1，故当n≤2时，f（n）递减；
当n≥2时，f（n+1）﹣f（n）＞1，故当n≥2时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．
从而当x∈[1，2）时，f'（x）＜1，f（x）递减；
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞1，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利．