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正弦定理的教学

一、引言
事物是怎样发生、发展的？
要解决什么问题？——测量。

显然，不需要给出三个角和三条边的大小就可以确定一个三角形。当三角形确定后，我们就可以求出其他未知的元素。
已知三角形的一些元素，求另一些元素的过程叫做解三角形。
问题1 你认为，需要哪些条件可以确定一个三角形？
（1）已知：一条边，两个角；
（2）已知：两条边，及夹角；
（已知：两边，其中一边的对角。）
（3）已知：三条边。
你是怎么知道的？——三角形全等的条件。
“全等”——即“同样”。
这段时间将一个一个地来研究解三角形问题。
画个“导游图”——先行组织者。

定理（结论）是在解决问题的过程中发现的，甚至是在解决许多具体问题后才发现的。在这个过程中，充满着观察、比较、探究、发现、猜想、归纳、概括等思维活动。

二、正弦定理
1．先来研究：（要解决什么问题？）
已知三角形的一条边及夹这条边的两个角，解三角形。
在△ABC中，已知：a=10，B=20°，C=50°（具体数字）。求其他元素。

先求哪个？—— （A。两个角知道——三个角都知道。）

过顶点B作AC的垂线AD。
怎么想到的：
过一顶点画一边的垂线，把三角形分割成两个直角三角形。关于直角三角形，初中已经学习过。有勾股定理，锐角三角函数等；为什么不经过顶点A作BC的垂线？不破坏（唯一知道的）边a。
在Rt△BCD中，BD＝asinC，CD＝acosC。
在Rt△BAD中，AB＝，即c＝。
AD＝BDcotA＝asinCcotA。
AC＝AD+DC＝asinCcotA+acosC
＝a·＝a·。
b＝。
另外，既然c，A都知道，也可以

在Rt△ABE中，AE＝csinB。
在Rt△ACE中，AC＝。
于是，b＝。
2．回顾解决问题的过程。
观察c＝，即csinA=asinC，你想到什么？
根据边、角的轮换性，asinC=csinA等。
或者，由csinA=asinC得＝。想到＝。
发现什么？
结论：＝＝。
3．怎么证明？
获得结论比证明结论更重要。
由＝＝摘其一。如csinB＝bsinC。
csinB在哪里？过顶点A作BC的垂线AE，csinB就是AE。
因此，在△ABC中，因为csinB＝AE，bsinC＝AE。所以＝。
同理，＝。
因此，＝＝。
4．这个证明对钝角三角形适用吗？
5．怎么发现＝＝＝2R？
＝＝告诉我们，在三角形中，各边的长与所对角的正弦的比值相等。是一个常数吗？
设＝＝＝k。
k有几何意义吗？
由＝＝＝k，得
a＝ksinA，（或者b＝ksinB，c＝ksinC。）
在直角三角形中，a是直角边，A是边a的对角，k是斜边。
∠CBA’＝90°－∠A。

围绕着“解三角形”（已知一些元素，求另一些元素），这个任务的研究发现一系列结论。
——余弦定理。
——射影定理。
甚至还有其他定理。如半角定理等。

关于解的讨论
已知两边及其中一边的对角，解三角形的讨论。
借助图形来理解。
已知a，b，A，解三角形。
sinB=。
从数与形两个方面说清问题。
数：0＜sinB≤1。0＜≤1。 0＜bsinA≤a。
形：

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