正弦定理和余弦定理.doc

高三数学（理）集体备课材料 主备人：杨洪亮
正弦定理和余弦定理
一、教学目标
正确掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能熟练运用这两个定理解决有关解三角形问题.
二、重点、难点、易错（混）点、常考点
正弦定理、余弦定理的内容及其应用
三、知识梳理【《创新设计》P59】

四、精选例题+变式训练
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于______．
　 (2)(2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝4，B＝ 45°，则sin C＝________.

规律揭示：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断，即在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
【训练1】 (1)在△ABC中，a＝2，c＝2，A＝60°，则C＝________.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝________.

【训练2】在中，角、、的对边分别为、、．设向量，．
（1）若，，求角； （2）若，，求的值．

考点二　判断三角形的形状
【例2】(2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.

规律揭示：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
【训练1】 已知分别是的三个内角所对的边. 若，且，试判断的形状.

【训练2】(1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC的形状是________三角形．(填“直角”、“钝角”或“锐角”等)
(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC的形状是________三角形．(填“锐角”、“直角”、“等腰”或“等腰或直角”)

考点三 与三角形面积有关的问题
【例3】(2013·浙江卷)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

规律揭示：在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
【训练1】(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．

【训练2】在中，已知内角，边，设内角，面积为.
（1）求函数的解析式和定义域； （2）求的最大值.

五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】
1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．　
六、课后反思
（1）本节课我回顾了哪些知识：

（2）本节课我重新认识了哪些道理：

（3）本节课学习中还存在哪些不足：

备用题：
1、在中，若，则 .
2、在中，已知，则 .
3、在中，，面积为，那么的长度等于 .
4、在中，，则 .
5、在中，若，则 .
6、如果等腰三角形的周长是底边长的倍，那么它的顶角的余弦值为 .
7、已知中，角所对应的边分别为，若.
（1）求的值； （2）求的值.

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