正弦定理余弦定理培优时.doc

正弦定理、余弦定理的应用(培优班)导学案
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一、学习目标
（1）熟记正弦定理、余弦定理内容。
（2）能够用正弦定理、余弦定理解决相应问题。
二、知识导读
1.正弦定理 ：________
正弦定理的几个变形
  (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________
  (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______
  (3)a:b:c =____________________.
在解三角形时，常用的结论
（1）在三角形 中，A>B _________ _____________
 ( 2 ) sin(A+B)=sinC
 ( 3 ) 三角形的面积公式：
正弦定理可解决两类问题：
（1）

（2）           
2.余弦定理: = , = ,= .

变形:cos A ,cos B= ,cos C=

余弦定理可解决两类问题：
①已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；
②已知三边问题

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
①化边为角；②化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换。
三、知识应用
例1、（1）(2009·广东)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b等于(　　)
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
（2）(2011·滨州质检)△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C.或 D.或
（3）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若ccosB＝bcosC，且cosA＝，则sinB等于(　　)
A．± B. C．± D.
（4）(2010·天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150°
（5）在△ABC中，a＝，b＝，sinB＝，则符合条件的三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
（6）在△ABC中， B＝60°，b2＝ac，则该三角形一定是（ ）
A 锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
例2、（1）(2011·南京模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝5，b＝7，cosC＝，则角A的大小为__________．
（2）(2011·沈阳模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于__________．
（3）(2011·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为__________．
四、综合应用
例3、 (2010·天津)在△ABC中，＝.
(1)求证：B＝C；
(2)若cosA＝－，求sin的值．

例4、(2010·浙江)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C＝－.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．

例5、(2010·辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)求sinB＋sinC的最大值．

例6、(2010·安徽)设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，并且sin2A＝sinsin＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若·＝12，a＝2，求b、c(其中b＜c)．

例7、(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.

例8、在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（）sin（A-B）= （）sin（A+B），判断三角形的形状.

例9、在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积