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(完整版)正弦定理和余弦定理专题
复习专题：正弦定理和余弦定理
一、知识回顾
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
1．角与角关系：A+B+C = π，
2．边与边关系：a + b > c，b + c 〉 a，c + a 〉 b，
a－b 〈 c，b－c 〈 a，c－a > b．
3．边与角关系:
1）正弦定理 。;（R为外接圆半径)
变式1：a = ，b= ，c=
2)余弦定理 c2 = ,b2 = ，a2 = ．
变式1：cosA= ； 。; .
4. 三角形面积公式： 。；
5、关于三角形内角的常用三角恒等式:三角形内角定理的变形
①由A＋B＋C＝π,知A＝π－（B＋C)可得出：
sinA＝sin(B＋C），cosA＝－cos(B＋C)．
②而．有：，．
二
问题探究
探究一
正弦定理的应用
考点分析：①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形.
方法点拨：针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法1【代数法】:大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于1;
方法2【几何法】：当为锐角时、①或时、一解；②时、两解；③时、无解.当为直角或钝角时、①时、一解;②时、无解。
例如1：在中、求其余的边和角.

例如2： 在△ABC中，已知a=，b=，B=45°,求A、C和c.

变式训练1：(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b,c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ (　　)
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
变式训练2:在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
探究二
余弦定理应用
考点分析：①知三边、解三角形。 ②知两边及夹角、解三角形。
例如3：(1）在三角形中，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C所对的边,已知则A＝ .
变式训练：△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0。
(1)求角A的大小；(2）若a=，求bc的最大值；

探究三
正、余弦定理的综合应用
考点一
判定三角形形状
方法点拨:①知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；②能力要求：统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想。
例如4:在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果（a2+b2）sin（A—B）=
（a2—b2）sin(A+B），判断三角形的形状。

变式训练:在△ABC中, ，则这个三角形一定是（ )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

考点二
三角形面积(注重方程组思想）
例如5：（2009·浙江高考)在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1) 求△ABC的面积； (2)若c＝1，求a的值．

变式训练:.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于 （　　）
A。 B. C.或 D。或
考点三
角或边的范围
方法点拨：主要是函数思想、基本不等式、三角函数有界性的应用。
例如6：（1）锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 （　　）
A．(1，2) B．(1，） C．（，2） D．（，）
(2) 在△ABC中,,则边的取值范围是 （ )
A． B． C． D．
变式训练8： 在△ABC中， ,若三角形有两解,则边的范围是（ ）
若三角形有一解，则边的范围是（ )
A． B． C． D．
变式训练9： 在△ABC中, ①则角A的取值范围是 （ ） ；② -—--——-。

探究四
正、余弦定理的实际应用
例如7：为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架，如图所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0。5米.为了使广告牌稳固,要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

变式训练10：如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=,求△POC面积的最大值及此时的值.

四
思维训练与能力提高
1。（2010上海)18.若△的三个内角满足,则△
(A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形。
（C）一定是钝角三角形. （D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2.(2010湖南)6、在△ABC中，角A,B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，，则
A、a>b B、a〈b C、a=b D、a与b的大小关系不能确定
3．（2010广东理）11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边,若a=1,b=， A+C=2B,则sinC= 。
4 、在△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C的对边，且8sin2
(I）求角A的大小； (II） 若a=，b+c=3，求b和c的值
5． 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B,C的对边，且=-。
(1）求角B的大小;
（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.
6、在中，内角对边的边长分别是,已知，．
(1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积．

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