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等和线定理

1. 等和线定理
（1） 平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦。
（2） 等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

1.当等和线恰为直线AB时，k等于1
2.当等和线在O点和直线AB之间时，
3.当直线AB在O点和等和线之间时，
4.当等和线经过O点时k等于0，

5.若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数

6. 定值k的变化与等和线到O点的距离成正比

注：在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法。

例1．（2017全国3卷12）0在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
例2.已知三角形OAB中，OA=OB=1，,,若OC与线段AB交于P点，且满足则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.2

例3.已知向量满足，，，若M为线段AB的中点，并且，则的最大值是（  ）。
A:  B:  C:  D: 1

例4.给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动，若 其中,则的取值范围是________.

例5.如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________.

例6.（2013安徽卷9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是
（A） （B）
（C） （D）

例7.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则的取值范围是（　　）

A  B. C. D.

7. （2017杭州五校联盟）在矩形ABCD中，AB=，，P为矩形内一点，且，若，则的最大值为________。

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