培优专题：向量等系数和线专题(等和线)习题含答案(图片版).pdf

向量等和线专题向量等和线专题一、向量等和线原理向量等系数和线等和线定理是专门解决有关基向量中系数之和的秒杀工具，对于系数之和以及系数类有关问题，均可以尝试使用向量等系数和线原理。三点共线原理：A,B,C三点共线 OC xOA yOB,x y 1 向量等和线原理：三点共线+平行线移动（三角形相似）OD OA OB,设 m 1mmP,D,Q共线OD(mOA)(mOB)PQ ABmm令OP mOA,OQ mOBOQOP m OBOA结合OP与OA（或OQ与OB）同向或反向确定m 正负在上述推理过程中，暗含着 OP mOA,OQ mOB，即OA和OB 的系数相等（等系数），PQ 这条线（和线）与 AB 平行，可以认为是 AB 这条线平行移动的结果。故在解题过程中，我们可以将 AB 这条线平行移动，确定临界位置，从而确定 m 的取值范围，即系数之和+的范围。二、向量等和线解决一类向量题目赏析例 1.已知单位向量 a,b 的夹角为 3，且 c 满足 c a b 1，若 c xa yb,则 x 2 y 的最大值为.例 2.在矩形 ABCD 中，AB 1，AD 2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP AB AD，则 的最大值为.1例 3.在 正 六 边 形 ABCDEF 中，点 P 是 CDE 内（包 括 边 界）的 动 点，若 AP AB AF(,R)，则 的取值范围是例 4.两个不共线向量 OA,OB 的夹角为 ,M,N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在直线 MN上，且 OC OA OB(,R)，则 2 2 的最小值为例 5.在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 O 的半径为 1，圆心在线段 CD（含端点）上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP m AB n AF(m,n R)，则 m n 的取值范围是三、小试牛刀1.M,N 分别在 ABC 的边 AB,AC 上，且 AMAB 13,ANAC 14，BN 与 CM 交于点 P，设AB a,AC b，若 AP a b(,R)，则 的值为2.如 图，AB 是 圆 O 的 直 径，C,D 是 圆 O 上 的 点，CBA 600,ABD 450,CD OA BC,则 的值为3.如图，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD AB AC，则4.如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E，使得 DE CD。若动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，其中 AP AB AE，则 的最大值为5.如图，平面内有三个向量 OA,OB,OC,其中 OA 与 OB 的夹角为1200，OA 与 OC 的夹角为300，且 OA OB 1,OC 2 3，若 OC OA OB(,R)，则6.如 图，梯 形 ABCD 中，AB CD,AB 2CD,E,F 分 别是 的 BC,CD 中 点，若 AB AE AF(,R)，则2534Ans：1.2.3.314.35.66.11353