微专题之等和线.doc

微专题之平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一） 平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然
（二） 等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线时，；
（2） 当等和线在点和直线之间时，；
（3） 当直线在点和等和线之间时，；
（4） 当等和线过点时，；
（5） 若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、 确定等值线为1的线；2
2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角
为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。
若，其中，则的最大值
是__________。

跟踪练习：已知为的外心，若，，则的最大值为_______

例2、在平面直角坐标系中，为坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形中，，为弧上不与重合的一个动点，
，若 存在最大值，则的取值范围为__________.

跟踪练习：在正方形中，为中点，为以为直径的半圆弧上任意一点，
设，则的最小值为_____________.

【强化训练】
1、在正六边形中，是三角形内（包括边界）的动点，设，则 的取值范围__________.
2、如图，在平行四边形中，为边的三等份点，为的交点，为边上的一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围__________.

3、设分别是的边，上的点，，，若 （为实数），则的值为_____________.
4、梯形中，，，，为三角形内一点（包括边界），，则的取值范围__________.
5、已知，，点在内，且，设，则的值为____________.
6、在正方形中，为中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为_____________.
7、已知，为实数）。若为以为直角顶点的直角三角形，则 取值的集合为_______。
8、平面内有三个向量，其中夹角为，的夹角为，且，
，若，则的值为____________________。
9、如图，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围为___________。

10、已知为的外心，若，，且，则=________.
11、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_______________.