一次函数、反比例函数和二次函数.doc

一次函数、反比例函数和二次函数一、重要考点：1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象； 2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质； 3.能根据条件确定函数的解析式； 4.能用函数解决实际问题。 二.重点提示：1一次函数 定义 如果y=kx+b(k，b为常数，k0) 那么y叫做x的一次函数 当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx(k0)，y叫x的正比例函数 图象 k0 k0，b=0 k0抛物线与x轴有两个不同交点 =0抛物线与x轴有一个公共点（相切） 0时，函数在x=-时，有最小值，y最小=。 当a0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大 注意：不能说成“当k0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k0时，反比例函数y随x的增大而增大。”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。 (3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y=(k0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。 二、考题精选 1(南京)如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M、N。设HM=x，矩形AMHN的面积为y。 （1）求y与x之间的函数关系式；（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=，CF/AG，BE=3， ， BG=4， HMAG，CBAG，HM/BE， ， MG=x。 y=x(4+4-x)=-x2+8x。 (2)y=-x2+8x=-(x-3)2+12。 当x=3时，y最大，最大面积是12。 解题点拨：（1）要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。 （2）这类题目，注意自变量x的取值范围。 2（ 北京东城区）已知：如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。OB=，tanDOB=。（1）求反比例函数的解析式； （2）设点A的横坐标为m，ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。 解：（1）过点B作BHx轴于点H。 在RtOHB中， tanHOB=， HO=3BH。 由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。 又OB=，BH2+(3BH)2=()2。 BH0， BH=1，HO=3。 点B（-3，-1）。设反比例函数的解析式为 y=（k10）。 点B在反比例函数的图象上， k1=3。反比例函数的解析式为：y=。 （2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k20）。 由点A在第一象限，得m0。 又由点A在函数y=的图象上，可求得点A的纵坐标为。点B（-3，-1），点A（m，）， 解关于k2、b的方程组，得直线AB的解析式为y=。 令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。 过点D的横坐标为x=m-3。过点A作ACx轴于点G。 S=SBDO+ SADO =DOBH+DOGA =DO（BH+GA） =|m-3|（1+|）。 由已知，直线经过第一、二、三象限， b0，即0。 m0，3-m0。 由此得：0m3。 S=(3-m)(1+)。 即S=（0m3）。 （3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。 证明如下：SOCD=DOOC=|m-3|=。 由SOCD=，得=。 解得m1=1，m2=3。 经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。 0m3， m=3不合题意，舍去。 点A（1，3）。 设过A（1，3）、B（-1，-3）两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0）。 由此得 即y=ax2+（1+2a）x+2-3a。 设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。 则x1+x2=-x1x2= 令|x1-x2|=3。 则(x1+x2)2-4x1x2=9。 即 (-)2-4=9。 整理，得7a2-4a+1=0。 =(-4)2-471=-120， 方程7a2-4a+1=0无实根。 因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。 3、（北京西城区）（本题9分）已知：抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），其顶点的横坐标是，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点(其中x1x2)，且x12+x22=13。 （1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标； （2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，若MBO的面积为DOC面积的倍，求点M的坐标。 解：（）抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4）， a-b+c=4，即c=4-a+b。 抛物线顶点的横坐标是 即b=-a。 抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B（x1，0），C(x2，0)两点（其中x1x2）， x1，x2是方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个实根。x1+x2=，x1x2= 由已知x12+x22=13， （x1+x2)2-2x1x2=x12+x22 ()2-=13。 由解得经检验，a、b、c的值使0，符合题意。 抛物线的解析式为y=-x2+x+6。 当x=时，y=， 抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为（）。 (2)由(1)得y=-x2+x+6，（如图，画草图帮自己分析） 令x=0， y=6，得D（0，6）。 令y=0， -x2+x+6=0， 解得：x1=-2， x2=3。 B(-2，0)， C(3，0)。 设点M的坐标为（x，y），则点M到x轴的距离为yM。 MBO=SDOC， BOyM=OCOD 得yM=6， yM=6。因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点的坐标为（），对称轴是直线x=若yM=6， 因为60D、x0 答案：B 5（山西）将二次函数y=x2+x-1化成y=a(x+m)2+n的形式是（ ）A、y=(x+2)2-2B、y=(x+2)2+2C、y=(x-2)2-2D、y=(x-2)2+2 答案：A 6平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象只可能是（ ） 答案：B 7图象经过点（0，-1）、点（2，3）的一次函数解析式是（ ） A、y=-2x+1 B、y=-2x-1 C、y=x-1 D、y=2x-1答案：D 8（天津）（本题8分）已知：在RtABC中，B=90，BC=4cm， AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。若P为AB边上的一个动点，PQ/BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y。 （1）如图，当AP=3cm时，求y的值； （2）设AP=xcm， 试用含x的代数式表示y(cm2)； （3）当y=2cm2时，试确定点P的位置。 答案：本题满分8分 解（1） PQ/BC， =， BC=4，AB=8，AP=3， PQ= 1分 D为AB的中点， AD=AB=4，PD=AD-AP=1 PQMN为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=， y=MNDN=(cm2)。2分 （2）AP=x， 由=得：PQ=x=PN AN=AP+PN=x。当ANAD时，有0x时，y=0；当APADAN时，有x4时，y=(x-4)=x2-2x； 当ADAP且ANAB时，有4x时，y=2x=x；当APABAN时，有x8时，y=2(8-x)=-2x+16。6分 （3）将y=2代入y=-2x+16(x8)时，得x=7，即P点距A点7cm；将y=2代入y=x2-2x(x4)时，得x=，即P点距A点cm。