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一次函数、反比例函数和二次函数.doc

1、一次函数、反比例函数和二次函数一、重要考点:1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象; 2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质; 3.能根据条件确定函数的解析式; 4.能用函数解决实际问题。 二.重点提示:1一次函数 定义 如果y=kx+b(k,b为常数,k0) 那么y叫做x的一次函数 当b=0时,一次函数y=kx+b变为y=kx(k0),y叫x的正比例函数 图象 k0 k0,b=0 k0抛物线与x轴有两个不同交点 =0抛物线与x轴有一个公共点(相切) 0时,函数在x=-时,有最小值,y最小=。 当a0时,反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内且在每个象限内,y随x的增大而减小

2、;当k0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,且在每个象限内,y随x的增大而增大 注意:不能说成“当k0时,反比例函数y随x的增大而减小,当k0时,反比例函数y随x的增大而增大。”因为,当x由负数经过0变为正数时,上述说法不成立。 (3) 反比例函数解析式的确定:反比例函数的解析式y=(k0)中只有一个待定系数k,因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标,代入函数解析式求得k的值,就可得到反比例函数解析式。 二、考题精选 1(南京)如图,E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点,CE=1,CF=,直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HMAG,HNA

3、D,垂足分别为M、N。设HM=x,矩形AMHN的面积为y。 (1)求y与x之间的函数关系式;(2)求x为何值时,矩形AMHN的面积最大,最大面积是多少? 解:(1)正方形ABCD的边长为4,CE=1,CF=,CF/AG,BE=3, , BG=4, HMAG,CBAG,HM/BE, , MG=x。 y=x(4+4-x)=-x2+8x。 (2)y=-x2+8x=-(x-3)2+12。 当x=3时,y最大,最大面积是12。 解题点拨:(1)要写出y关于x的函数关系式,就要在图形中寻找对应关系,把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换,就可以找到y与x的关系式。 (2)这类题目,注意自变量x的取值范

4、围。 2( 北京东城区)已知:如图一次函数的图象经过第一、二、三象限,且与反比例函数的图象交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D。OB=,tanDOB=。(1)求反比例函数的解析式; (2)设点A的横坐标为m,ABO的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)当OCD的面积等于时,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由。 解:(1)过点B作BHx轴于点H。 在RtOHB中, tanHOB=, HO=3BH。 由勾股定理,得BH2+HO2=OB2。 又OB=,BH2+(3BH)2=()2。 BH0

5、, BH=1,HO=3。 点B(-3,-1)。设反比例函数的解析式为 y=(k10)。 点B在反比例函数的图象上, k1=3。反比例函数的解析式为:y=。 (2)设直线AB的解析式为y=k2x+b(k20)。 由点A在第一象限,得m0。 又由点A在函数y=的图象上,可求得点A的纵坐标为。点B(-3,-1),点A(m,), 解关于k2、b的方程组,得直线AB的解析式为y=。 令y=0,求得点D的横坐标为x=m-3。 过点D的横坐标为x=m-3。过点A作ACx轴于点G。 S=SBDO+ SADO =DOBH+DOGA =DO(BH+GA) =|m-3|(1+|)。 由已知,直线经过第一、二、三象限

6、, b0,即0。 m0,3-m0。 由此得:0m3。 S=(3-m)(1+)。 即S=(0m3)。 (3)过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。 证明如下:SOCD=DOOC=|m-3|=。 由SOCD=,得=。 解得m1=1,m2=3。 经检验,m1=1,m2=3都是这个方程的根。 0m3, m=3不合题意,舍去。 点A(1,3)。 设过A(1,3)、B(-1,-3)两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)。 由此得 即y=ax2+(1+2a)x+2-3a。 设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。 则x1+x2=-x1x2= 令|x1-x2|=3。 则(x1+x2

7、)2-4x1x2=9。 即 (-)2-4=9。 整理,得7a2-4a+1=0。 =(-4)2-471=-120, 方程7a2-4a+1=0无实根。 因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。 3、(北京西城区)(本题9分)已知:抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,4),其顶点的横坐标是,与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点(其中x1x2),且x12+x22=13。 (1)求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标; (2)设此抛物线与y轴交于点D,点M是抛物线上的点,若MBO的面积为DOC面积的倍,求点M的坐标。 解:()抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,4), a

8、-b+c=4,即c=4-a+b。 抛物线顶点的横坐标是 即b=-a。 抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点(其中x1x2), x1,x2是方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个实根。x1+x2=,x1x2= 由已知x12+x22=13, (x1+x2)2-2x1x2=x12+x22 ()2-=13。 由解得经检验,a、b、c的值使0,符合题意。 抛物线的解析式为y=-x2+x+6。 当x=时,y=, 抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为()。 (2)由(1)得y=-x2+x+6,(如图,画草图帮自己分析) 令x=0, y=6,得D(0,6)。 令y=

9、0, -x2+x+6=0, 解得:x1=-2, x2=3。 B(-2,0), C(3,0)。 设点M的坐标为(x,y),则点M到x轴的距离为yM。 MBO=SDOC, BOyM=OCOD 得yM=6, yM=6。因为抛物线y=-x2+x+6开口向下,顶点的坐标为(),对称轴是直线x=若yM=6, 因为60D、x0 答案:B 5(山西)将二次函数y=x2+x-1化成y=a(x+m)2+n的形式是( )A、y=(x+2)2-2B、y=(x+2)2+2C、y=(x-2)2-2D、y=(x-2)2+2 答案:A 6平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象只可能是( ) 答案:B 7图象经过点(0,-1)

10、、点(2,3)的一次函数解析式是( ) A、y=-2x+1 B、y=-2x-1 C、y=x-1 D、y=2x-1答案:D 8(天津)(本题8分)已知:在RtABC中,B=90,BC=4cm, AB=8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。若P为AB边上的一个动点,PQ/BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y。 (1)如图,当AP=3cm时,求y的值; (2)设AP=xcm, 试用含x的代数式表示y(cm2); (3)当y=2cm2时,试确定点P的位置。 答案:本题满分8分 解(1) PQ/BC, =, BC=4,AB=8,AP=3, PQ= 1分 D为AB的中点, AD=AB=4,PD=AD-AP=1 PQMN为正方形,DN=PN-PD=PQ-PD=, y=MNDN=(cm2)。2分 (2)AP=x, 由=得:PQ=x=PN AN=AP+PN=x。当ANAD时,有0x时,y=0;当APADAN时,有x4时,y=(x-4)=x2-2x; 当ADAP且ANAB时,有4x时,y=2x=x;当APABAN时,有x8时,y=2(8-x)=-2x+16。6分 (3)将y=2代入y=-2x+16(x8)时,得x=7,即P点距A点7cm;将y=2代入y=x2-2x(x4)时,得x=,即P点距A点cm。

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