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课时作业31 直线与直线平行
知识点一 平行线的传递性
1.已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系( )
A．一定是异面 B．一定是相交
C．不可能平行 D．不可能相交
答案 C
解析 若c∥b，而c∥a，由基本事实4，知a∥b，这与a，b是两条异面直线矛盾，所以c与b不可能平行，故选C.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
答案 C
解析 连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，同理，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
3．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；
(2)求梯形MNAC的面积．
解 (1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，如图所示，则有MN綊A1C1.
又A1C1綊AC，∴MN綊AC.
∴M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．
∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M，∴AN＝CM.
∴梯形MNAC为等腰梯形．
(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，
AC＝2，MN＝，
则梯形MNAC的高h＝ ＝，∴S梯形MNAC＝(AC＋MN)×h＝.
知识点二 等角定理
4.给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
5．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？
解 (1)证明：因为FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD，
又因为BC綊AD，所以GH綊BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG，
由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，
所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
证明 (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
一、选择题
1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1，且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
答案 D
解析 将两角放入正方体中，符合题意的两角中OB与O1B1相交或平行或异面．
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
答案 D
解析 由等角定理可知，β为60°或120°.
3．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．无法判断
答案 B
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．
4．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论不正确的是( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
答案 D
解析 如图所示，连接BD.∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.同理，FG∥BD，且FG＝μBD.
∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．∴A，C正确，D错误．当λ≠μ时，EH≠FG，∴四边形EFGH是梯形，∴B正确．
5．如图所示，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法不正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为矩形
答案 D
解析 由条件易得MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，∴MQ∥NP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据空间等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B正确；对于C，由空间等角定理知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，则△BCD∽△MEQ，故C正确．没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，选D.
二、填空题
6．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
答案 ②④
解析 ①错误，可以异面；②正确，依据是基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．
7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．
答案 平行
解析 在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，
∴EF∥BC.又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．
(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；
(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
答案 (1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1
解析 (1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．
(2)因为B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．
求证：(1)EF∥D1C；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接A1B，则EF∥A1B.
又A1B∥D1C，∴EF∥D1C.
(2)∵EF∥D1C，EF＝D1C，
∴D1F与CE相交．
又D1F⊂平面AA1D1D，CE⊂平面ABCD，
平面AA1D1D∩平面ABCD＝DA，
∴D1F与CE的交点必在DA上．
∴CE，D1F，DA三线共点．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)MC∥A1E，A1F∥CN；
(2)∠EA1F＝∠NCM.
证明 (1)如图，取A1D1的中点I，连接DI，MI，又M为B1C1的中点，几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴C1D1綊CD，MI綊C1D1，
根据基本事实4知CD綊MI，故四边形IDCM为平行四边形，
∴MC∥ID，
又I，E分别为A1D1，AD的中点，
∴A1I綊ED，
∴四边形A1IDE为平行四边形，∴A1E∥ID.
故MC∥A1E.
同理可证A1F∥CN.
(2)由(1)知A1F∥CN，MC∥A1E，
又∠EA1F与∠NCM两边的方向均相反，
∴∠EA1F＝∠NCM.
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