1、课时作业34直线与直线垂直知识点一 异面直线所成的角1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA1，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A30 B45 C60 D90答案C解析如图，因为BB1AA1，所以A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角因为tanA1AC1，所以A1AC160，故选C.2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BCC1与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误
2、；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成的角为90，D错误故选C.3在棱长为a的正方体ABCDABCD中，求：(1)AB和AD所成的角；(2)DB和AC所成的角解(1)如图，连接BC，AC，ADBC，ABC即为AB与AD所成的角又ACABBCa，ABC60，AB和AD所成的角为60.(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD的中点E，连
3、接OE，则OEBD，则AOE即为AC与BD所成的角连接AE，CE，则AECE，ACE为等腰三角形EOAC，即AOE90.DB和AC所成的角为90.知识点二 异面直线的垂直4.长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A6条 B8条C10条 D12条答案B解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条5已知直线a，b，c，下列三个命题：若a与b异面，b与c共面，则a与c异面；若ab，a和c相交，则b和c也相交；若ab，ac，则bc.其中，正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解
4、析不正确，如图；不正确，有可能相交也有可能异面；正确，故选B.6.如图所示，在空间四边形ABCD中，两条对边ABCD3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且，EF，求证：ABCD.证明如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF.EOAB，.又AB3，EO2.，OFDC.OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角.DC3，OF1.在OEF中，OE2OF25，EF2()25，OE2OF2EF2，EOF90.AB和CD所成的角为90.ABCD.一、选择题1如果空间两条直线互相垂直，那么它们()A一定相交 B是异面直线C是共面直线 D一定不平行答案D解析由平面几何知识
5、和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.2如图所示，正方体ABCDABCD中，AB的中点为M，DD的中点为N，则异面直线BM和CN所成角的大小是()A90 B60C45 D30答案A解析如图，取AA的中点E，连接BE，EN，则BENC，异面直线BM和CN所成的角就是直线BE与直线BM所成的锐角(或直角)，根据ABEBBM可得BEBM，异面直线BM和CN所成的角为90.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析如图，补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1
6、E1.易知AD1DE1，则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，所以DE1 2，DB1 ，B1E1，在B1DE1中，由余弦定理，得cosB1DE1，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.4如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点若CD2AB，EFAB，则EF与CD所成的角为()A30B45C60D90答案A解析取AD的中点H，连接FH，EH，则EHCD，FHAB.FEH是EF与CD所成的角或其补角，EFH是EF与AB所成的角或其补角EFAB，在EFH中，EFH90.CD2AB，HE2HF，FEH
7、30.5已知两异面直线a，b所成的角为17，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9，那么这样的直线l有()A3条 B2条 C1条 D0条答案B解析可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则BPE17，EPD163，则BPE的角平分线与直线a，b所成的角均为8.5，EPD的角平分线与直线a，b所成的角均为81.5.因为8.5981.5，所以与直线a，b所成的角均为9的直线l有且只有2条(直线c，d)，故选B.二、填空题6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角是_答案60解析EFAB1，BDB1D1，AB1D
8、1为异面直线EF，BD所成的角或其补角，易知AB1D1为正三角形，AB1D160.7如图所示，空间四面体ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，MN5，则异面直线AC与BD所成的角为_答案90解析如图，取AD的中点P，连接PM，PN.M，N分别为AB，CD的中点，PMBD，PNAC，MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角AC8，BD6，PNAC4，PMBD3.又MN5，在PMN中，由勾股定理知MPN90.故异面直线AC和BD所成的角为90.8已知a，b为异面直线，且a，b所成的角为40，过空间一点作直线c，直线c与a，b均异面，且所成的角均为.若这样的直线c共有四条，
9、则的取值范围为_答案|7090解析设平面上的两条直线m，n分别满足ma，nb，且m，n相交，夹角为40.若直线c与a，b均异面，且所成的角均为，则直线c与m，n所成的角均为.当020时，不存在这样的直线c；当20时，这样的直线c只有一条；当2070时，这样的直线c有两条；当70时，这样的直线c有三条；当7090时，这样的直线c有四条；当90时，这样的直线c只有一条故的取值范围为|7090三、解答题9如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点求证：A1EGF.证明如图，连接B1G，EG.由于E，G分别是DD1和CC1的中点，EG綊C
10、1D1，而C1D1綊A1B1，EG綊A1B1.四边形EGB1A1是平行四边形A1EB1G，从而B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角连接B1F，则FG，B1G，B1F.FG2B1G2B1F2，B1GF90，即异面直线A1E与GF所成的角为90，A1EGF.10如图，在四棱锥ABCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BCDE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若ACDE，且ACBC，求异面直线DE与PN所成角的大小解(1)证明：CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，PQ为ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线PQDE，MNDE，PQMN，M，N，P，Q四点共面(2)PN为ABE的中位线，PNAB.又BCDE，ABC即为异面直线DE与PN所成的角或其补角又ACDE，ACBC，在RtACB中，tanABC，ABC60.异面直线DE与PN所成的角为60.- 8 -
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