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课时作业34 直线与直线垂直
知识点一 异面直线所成的角
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan∠A1AC1＝
＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.
2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案 C
解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.
3．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：
(1)A′B和AD′所成的角；
(2)D′B和AC所成的角．
解 (1)如图，连接BC′，A′C′，
∵AD′∥BC′，
∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝a，
∴∠A′BC′＝60°，
∴A′B和AD′所成的角为60°.
(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，
则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．
∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.
∴D′B和AC所成的角为90°.
知识点二 异面直线的垂直
4.长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )
A．6条 B．8条
C．10条 D．12条
答案 B
解析 12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．
5．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c共面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a∥c，则b⊥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③正确，故选B.
6.如图所示，在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求证：AB⊥CD.
证明 如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF.
∵EO∥AB，∴＝＝，＝＝.
又AB＝3，∴EO＝2.
∵＝，∴＝，∴OF∥DC.
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角．
∴＝＝.∵DC＝3，∴OF＝1.
在△OEF中，∵OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，
∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°.
∴AB和CD所成的角为90°.
∴AB⊥CD.
一、选择题
1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们( )
A．一定相交 B．是异面直线
C．是共面直线 D．一定不平行
答案 D
解析 由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.
2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 A
解析 如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝ ＝2，
DB1＝ ＝，
B1E1＝＝＝，
在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.
4．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 A
解析 取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角．
∵EF⊥AB，
∴在△EFH中，∠EFH＝90°.
∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.
5．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
答案 B
解析 可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则∠BPE＝17°，∠EPD＝163°，则∠BPE的角平分线与直线a，b所成的角均为8.5°，∠EPD的角平分线与直线a，b所成的角均为81.5°.因为8.5°<9°<81.5°，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条(直线c，d)，故选B.
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角是________．
答案 60°
解析 ∵EF∥AB1，BD∥B1D1，∴∠AB1D1为异面直线EF，BD所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，∴∠AB1D1＝60°.
7．如图所示，空间四面体A－BCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，则异面直线AC与BD所成的角为________．
答案 90°
解析 如图，取AD的中点P，连接PM，PN.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴PM∥BD，PN∥AC，
∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角．
∵AC＝8，BD＝6，∴PN＝AC＝4，PM＝BD＝3.
又MN＝5，
在△PMN中，由勾股定理知∠MPN＝90°.
故异面直线AC和BD所成的角为90°.
8．已知a，b为异面直线，且a，b所成的角为40°，过空间一点作直线c，直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ.若这样的直线c共有四条，则θ的取值范围为________．
答案 {θ|70°<θ<90°}
解析 设平面α上的两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b，且m，n相交，夹角为40°.若直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ，则直线c与m，n所成的角均为θ.当0°≤θ<20°时，不存在这样的直线c；当θ＝20°时，这样的直线c只有一条；当20°<θ<70°时，这样的直线c有两条；当θ＝70°时，这样的直线c有三条；当70°<θ<90°时，这样的直线c有四条；当θ＝90°时，这样的直线c只有一条．故θ的取值范围为{θ|70°<θ<90°}．
三、解答题
9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点．求证：A1E⊥GF.
证明 如图，连接B1G，EG.
由于E，G分别是DD1和CC1的中点，
∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1.
∴四边形EGB1A1是平行四边形．
∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
连接B1F，则FG＝，B1G＝，B1F＝.
∵FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°，
∴A1E⊥GF.
10．如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.
(1)求证：M，N，P，Q四点共面；
(2)若AC⊥DE，且AC＝BC，求异面直线DE与PN所成角的大小．
解 (1)证明：∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，
∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．
∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，
∴M，N，P，Q四点共面．
(2)∵PN为△ABE的中位线，∴PN∥AB.
又BC∥DE，
∴∠ABC即为异面直线DE与PN所成的角或其补角．
又AC⊥DE，∴AC⊥BC，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝60°.
∴异面直线DE与PN所成的角为60°.
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