1、第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定A基础达标1已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且mBmn，且nCmn，且n Dmn，且n解析：选B.A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，B符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意故选B.2已知直线ab，平面，a，则b与的位置关系是()Ab BbCb Db或b解析：选A.因为a，ab，所以b.又，所以b.3如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，
2、直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于B，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于C，易证ABNQ，ABMQ，即可得直线AB平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直故选D.4.如图，P为ABC所在平面外一点，PB，PCAC，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B.由PB，AC得PBAC，又ACPC，PCPBP，所以AC平面PBC，ACBC.故选B.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总
3、保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上6.如图，在正方形ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是_解析：连接AD1，则AD1BC1.所以CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACAD1CD1，所以CAD160，即AC与BC1所成的角为60.答案：607如图，BCA90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有_；(2)与AP垂直的直线
4、有_解析：(1)因为PC平面ABC，AB，AC，BC平面ABC.所以PCAB，PCAC，PCBC.(2)BCA90即BCAC，又BCPC，ACPCC，所以BC平面PAC，因为AP平面PAC，所以BCAP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面ABCD，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的最小值为_解析：因为PA平面ABCD，所以PAQD.若BC边上存在一点Q，使得QDPQ，PAPQP，则有QD平面PAQ，从而QDAQ.在矩形ABCD中，当ADa2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQDQ.所以当a2
5、时，才存在点Q，使得PQQD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动证明：ADC1E.证明：因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1.由得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E.10如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解：取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别
6、是AD，AC的中点，所以EFCD，所以BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角在RtABC中，BC，ABAC，所以ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，所以BE.在RtAEF中，AFAC，AE，所以EF.在RtABF中，AB1，AF，所以BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.B能力提升11已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30的直线有且仅有()A1条B2条C3条 D4条解析：选B.过空间一点P，作aa，bb.由a、b两交线确定平面，a与b的夹角为50，则过角的平分线与直线a、b所在的
7、平面垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a、b成30的角，即与a、b成30的角且过点P的直线有两条在a、b相交另一个130的角部分内不存在与a、b成30角的直线故应选B.12(2018高考全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO
8、中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.13如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，沿AE将ADE折起，在折起过程中，下列结论正确的有()ED平面ACD；CD平面BED；BD平面ACD；AD平面BED.A1个 B2个C3个 D4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BECD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不
9、垂直，故错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故错误；因为ADED，并且在折起过程中，有ADBD，所以存在一个位置使ADBE，所以在折起过程中有AD平面BED，故正确故选A.14如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF4且EFAB，EFFB.(1)求证：GH平面EAD；(2)求证：FG平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EFAB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MGEF.因为H为EF的中点，EF4，AB2，所以EHABMG，所以四边形EMGH为平行四边形，
10、所以GHEM，又因为GH平面EAD，EM平面EAD，所以GH平面EAD.(2)因为EFFB，EFAB，所以ABFB.在正方形ABCD中，ABBC，所以AB平面FBC.又FG平面FBC，所以ABFG.在正三角形FBC中，FGBC，所以FG平面ABCD.C拓展探究15如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面
11、A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.因为DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又DPDED，所以A1C平面DEQP.即A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.- 7 -
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