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2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
一、选择题
1．若、是方程的两个根，则的值为( )
A． B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【解析】
因为、是方程的两个根，
所以
所以=2-1=1
故选A
2．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴以，为根的一元二次方程为．
故选：A．
3．若代数式2x2-5x与代数式x2-6的值相等，则x的值是( )
A．-2或3 B．2或3 C．-1或6 D．1或-6.
【答案】B
【解析】
因为这两个代数式的值相等，
所以有： 2x2-5x=x2-6，
x2-5x+6=0，
(x-2)(x-3)=0，
x-2=0或x-3=0，
∴x=2或3．
所以选B
4．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣3m2＝0的两根，则下列说法不正确的是（ ）
A．x1+x2＝2m B．x1x2＝﹣3m2 C．x1﹣x2＝±4m D．＝﹣3
【答案】D
【解析】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2m﹣3m2=0的两根，
∴x1+x2=2m，x1x2=﹣3m2，|x1﹣x2||4m|=±4m，
解方程x2﹣2mx﹣3m2=0得：x=3m或﹣m，
∴3或．
故选D．
5．若是方程的两个实数根，则 ( )
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】B
【解析】
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
故选B.
6.关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，
∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，
∴由根与系数的关系得：﹣ 3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一个根为1，
故选：A．
7.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
设，是的两个实数根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故选A．
8．已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【解析】
，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴；
故选A．
9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【解析】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
二、填空题
10．若方程的两根是则的值为________．
【答案】5
【解析】
根据题意得，所以.故答案为5.
11．已知、是方程的两根，则______________
【答案】2
【解析】
∵x1、x2是方程x2−2x−1＝0的两根，
∴x1＋x2＝2，x1×x2＝−1，
∴x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝22−2×（−1）＝6．
故答案为：6．
12．已知a，b是方程x2+2017x+2=0的两个根，则（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）的值为______．
【答案】8．
【解析】
∵a，b是方程x2+2017x+2=0的两个根，
∴2+2017a+a2=0，2+2017b+b2=0，ab=2，
∴（2+2019a+a2）（2+2019b+b2）=（2+2017a+2a+a2）（2+2017b+2b+b2）=4ab=8，
故答案为：8．
13．若a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，则的值为_____．
【答案】
【解析】
∵a、b是关于一元二次方程的两实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
三、解答题
14．关于的一元二次方程有一个根是，求该一元二次方程的另一个根及的值．
【答案】该一元二次方程的另一个根是－4，的值为10.
【解析】
设方程的另一个根为.
依题意得，解得
又，所以.
故该一元二次方程的另一个根是－4，的值为10.
15.已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；（2）若x1﹣3x2＝2，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣1；（2）k＝3．
【解析】
（1）△＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k﹣1）＝4k+4＞0，
∴k＞﹣1；
（2）∵，
∴，
∵x1•x2＝k2﹣k﹣1，
∴（3k+1）（k﹣1）＝k2﹣k﹣1，
∴k1＝3，k2＝﹣1，
∵k＞﹣1，
∴k＝3．
16．按指定的方法解方程
(直接开平方法)
(配方法)
(因式分解法)
(公式法)
【答案】(1)，；(2)，；(3) ，；(4)．[来【解析】
方程变形得：，
开方得：或，
解得：，；
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：或，
解得：，；
方程变形得：，
分解因式得：，
解得：，；
这里，，，
∵，
∴．
17．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其实数a的可能值
【答案】a=-.
【解析】
∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a2-1，
∴x1+x2=-=-(3a-1)，x1•x2==2a2-1，
∵(3x1-x2)(x1-3x2)=-80，
∴3x12-10x1x2+3x22=-80，即3(x1+x2)2-16x1x2=-80，
∴3[-(3a-1)]2-16(2a2-1)=-80，
∴5a2+18a-99=0，
∴a=3或-，
当a=3时，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=-
18．已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
（1）△=
∵原方程有实根，∴△=
解得
（2）当m=2时，方程为x2+3x+1=0，
∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∵方程的根为x1，x2，
∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）
=（-1-x1）（-1+x2+2）
=（-1-x1）（x2+1）
=-x2-x1x2-1-x1
=-x2-x1-2
=3-2
=1．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
【答案】（1）m≥﹣；（2）m＝2．
【解析】
（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因为x1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣；
所以m＝2．
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