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课时作业30 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一 空间中直线与直线的位置关系
1.下列说法中正确的个数是( )
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，故②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的连线所在的直线，与平面内过该点的直线是相交直线，故③不正确；对于④，如图所示，直线AB，AC分别与两异面直线a，b都相交，但AB，AC却是相交直线，故④不正确．
2．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2( )
A．是异面直线
B．是相交直线
C．是平行直线
D．可能是相交，或平行，或异面直线
答案 D
解析 构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D.
知识点二 空间中直线与平面的位置关系
3.直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交 B．l⊂α
C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对
答案 C
解析 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.
4．若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
答案 B
解析 一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A，C错误；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故D错误.
知识点三 空间中平面与平面的位置关系
5.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A．过P，Q的平面一定与α，β都相交
B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
答案 C
解析 当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.
6．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )
A．三条交线为异面直线
B．三条交线两两平行
C．三条交线交于一点
D．三条交线两两平行或交于一点
答案 D
解析 三个平面两两相交，有三条交线，三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点.
知识点四 空间中线、面位置关系的应用
7．如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．
解 a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ.
∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点．
又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
一、选择题
1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．可能平行、可能相交、可能异面
答案 D
解析 可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．
2．a，b是两条异面直线，A是不在直线a，b上的点，则下列结论成立的是( )
A．过A有且只有一个平面同时平行于直线a，b
B．过A至少有一个平面同时平行于直线a，b
C．过A有无数个平面同时平行于直线a，b
D．过A且同时平行于直线a，b的平面可能不存在
答案 D
解析 如图所示，作a1∥a，a1与b相交构成平面α，如果点A在平面α内，则此时过点A且平行于异面直线a，b的平面不存在．故选D.
3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
答案 D
解析 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面ABCD，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M，N，连接MN，则MN∥平面ABCD，有A1B1与MN异面．故选D.
4．下列说法中，正确的个数是( )
①若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；
③若直线a在平面α内，直线b不在平面α内，则a与b没有公共点；
④若直线a与平面α交于点A，则a⊄α.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①不正确，因为l∥α，所以直线l与平面α没有公共点，则l与平面α内的直线可能平行，也可能异面；②正确；③不正确，a与b也可能相交，有一个公共点；④正确，直线与平面只有一个交点，则直线与平面相交，直线不在平面内．
5．平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法：
①a与β内的所有直线都平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直；④a与β无公共点．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 如图所示，a∥b，显然a，c是异面直线，①错误；a与β内所有与b平行的直线平行，故②正确；若c⊥b，则c⊥a，故③不正确；∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，④正确．
二、填空题
6．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
答案 8
解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
7．已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α，β的位置关系是________．
答案 平行或相交
解析 借助长方体模型即得．
8．下列命题中正确的是________(填序号)．
①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．
答案 ③
解析 若直线l与平面α相交，则l与平面α内过交点的直线不是异面直线，故①不正确；若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内，故②不正确；若直线l与平面α平行，则l与平面α无公共点，所以l与平面α内的直线也无公共点，即平行或异面，故③正确．
三、解答题
9．判断正误，若为假命题，画出反例图形．
(1)若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；
(2)若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；
(3)若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；
(4)若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线也平行．
解 (1)假命题，如图①.
(2)假命题，如图②.
(3)假命题，如图③.
(4)假命题，如图④.
10．已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．
证明 假设AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE，DF的平面为β，若E，F重合，则E为BC的中点，∴AB＝AC，与AB≠AC相矛盾．若E，F不重合，
∵B∈EF，C∈EF，而EF⊂β，
∴B∈β，C∈β，又A∈β，D∈β，
∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD为空间四边形矛盾，综上可知，假设不成立，∴AE与DF为异面直线．
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