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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[A 基础达标]
1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
答案：B
2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )
A．a∥c B．a，c是异面直线
C．a，c相交 D．a，c平行或相交或异面
解析：选D.如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．
3．已知异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D.若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．
4．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面( )
A．只有一个 B．恰有两个
C．没有或只有一个 D．有无数个
解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．故选C.
5．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
解析：选C.如图所示，可以将空间划分为7部分．
6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；
②若α∥β，a⊂α，则a∥β；
③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．
解析：①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误．
答案：②
7．下列命题：
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有两条交线；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，当β∥γ时，有2条交线；当β∩γ＝a且a⊂α时，有1条交线；当α、β、γ两两相交且不过同一条直线时，有3条交线(如棱柱的三个侧面)，故①错误；
对于②，可借助正方体ABCDA1B1C1D1进行判断，如图所示．
因为六面体ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D.因为AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，所以命题②错误，综上可知①②都错误．
答案：①②
8．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是异面直线，则α，β的位置关系是__________．
解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，B1C1⊂平面BCC1B1，AB，B1C1是异面直线，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交．
答案：平行或相交
9．完成下列作图．
(1)在图中画出两个平行平面．
(2)在图中画出两个相交平面．
(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
(4)在图中画出三个两两相交的平面．
解：
10.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．
解：a∥b，a∥β.
证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，
因为α∥β，a⊂α，b⊂β，所以a、b无公共点．
又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.
因为α∥β，所以α与β无公共点．
又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.
[B 能力提升]
11．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：选C.若两点所在的直线与平面平行，则可以作1个，否则，为0个．
12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．7个
解析：选D.把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：
第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．
图(1) 图(2)
第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．
综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D.
13．如图，点G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．
解析：①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．
答案：②④
14．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，求直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数．
解：取CD的中点为G，连接FG，EG，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在的平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
[C 拓展探究]
15.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解：平面ABC与β的交线与l相交．
证明如下：因为AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，
所以AB与l一定相交．设AB∩l＝P(图略)，则P∈AB，P∈l.又因为AB⊂平面ABC，l⊂β，所以P∈平面ABC，P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，所以直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
所以平面ABC与平面β的交线与l相交．
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