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章末质量检测(三) 函数的概念与性质
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
解析：由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．
答案：D
2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝(x∈(0，＋∞))
C．y＝(x∈N) D．y＝
解析：在选项A中y可等于零，选项B中y显然大于1，选项C中x∈N，值域不是(0，＋∞)，选项D中|x＋1|>0，即y>0.
答案：D
3．函数f(x)＝－的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
解析：要使函数有意义，x的取值需满足
解得x≥－1，且x≠0，
则函数的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：C
4．设f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21
C．18 D．16
解析：f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
答案：A
5．下列各组函数相等的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x0
C．f(x)＝g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
解析：选项A，B，D中两函数定义域不同，只有C项符合．
答案：C
6．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：f(2)＝＝＝.
f＝＝＝－.
∴＝－1.
答案：B
7．若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)<f(2)<f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．单调性不能确定
解析：函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确．
答案：D
8．若f(x)＝且f(x)＝1，则x＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：当x≥0时，f(x)＝1⇒x＝1，当x<0时，f(x)＝1⇒－x＝1，即x＝－1.
答案：C
9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
解析：由已知<0，
得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，
由偶函数性质得f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.
答案：A
10．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0<a≤ B．0≤a≤
C．0<a< D．a>
解析：当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a>0且－≥4，得0<a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
答案：B
11．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为3
B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3
D．减函数且最大值为－3
解析：当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
从而f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f(x)在[－5，－1]是减函数．故选D.
答案：D
12．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析：因为对一切x∈，f(x)>0都成立，
所以a>＝－＝－2＋1，
又－2＋1≤1，所以a>1，
所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1,0]时，y＝x＋1；当x∈(0,2]时，y＝－x，
故f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
14．函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
15．函数f(x)＝(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则t的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝(t>0)的图象如图：
因为函数f(x)＝(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，所以t≥1.
答案：t≥1
16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确结论的序号为________．
解析：若f(x)为奇函数，则f(x－1)＝－f(1－x)，故①正确．
令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图象不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝－(其中[x]表示不超过x的最大整数)，
其图象如图所示，满足f(x＋1)＝f(x－1)，但其图象不关于直线x＝1对称，故②不正确．
若g(x)＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．
对于④，不妨令f(x)＝x，则f(1＋x)＝1＋x，f(1－x)＝1－x，二者图象关于x＝0对称，故④错误．
答案：①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
18．(12分)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
解析：y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
解析：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
20．(12分)已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x2>x1>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
21．(12分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解析：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，此时乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x>4，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；
当乙的用水量超过4吨时，即3x>4，显然甲的用水量也超过4吨，y＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
答：甲户用水量7.5吨，付费17.70元；乙户用水量4.5吨，付费8.70元．
22．(12分)已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0.
解析：(1)因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
则f(0)＝0，得b＝0.
又因为f＝，
则＝⇒a＝1，
所以f(x)＝.
(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，
由f(t－1)＋f(2t)<0
得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0<t<.
故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为.
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