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课时素养评价
二十三 函数的最大值、最小值
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5，5)上的最大值、最小值点分别为 ( )
A.42，- B.无最大值，-
C.42，- D.无最大值，-
【解析】选B.f(x)=x2+3x+2=-，
因为-5<-<5，
所以无最大值，f(x)min=f=-，故最小值点为-.
2.已知：f(x)=-，则 ( )
A.f(x)max=，f(x)无最小值
B.f(x)min=1，f(x)无最大值
C.f(x)max=1，f(x)min=-1
D.f(x)max=1，f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=-的定义域为[0，1]，因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max=1，f(x)min=-1.
3.函数f(x)=的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为t=1-x(1-x)=+≥，
所以0<f(x)≤，即f(x)的最大值为.
4.(多选题)设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的
是 ( )
A.f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B.在[a，b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a，b]上有最小值f(b)-c
D.cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
【解析】选C，D.A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；
B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；
C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)-c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)-c，C正确；
D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c<0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数y=f(x)的定义域为[-4，6]，且在区间[-4，-2]上递减，在区间[-2，6]上递增，且f(-4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________.
【解析】因为函数y=f(x)在区间[-4，-2]上递减，在区间[-2，6]上递增，所以f(x)的最小值是f(-2)，又因为f(-4)<f(6)，所以f(x)的最大值是f(6).
答案：f(-2) f(6)
6.当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】a<-x2+2x恒成立，即a小于函数f(x)=-x2+2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)=-x2+2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a<0.
答案：(-∞，0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)利用函数的平均变化率证明函数y=在区间[0，5]上是减函数.
【解析】设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则f(x2)-f(x1)=-=，
所以=，
又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则x1+2>0，x2+2>0，所以<0，
则函数y=在[0，5]上是减函数，
则函数f(x)在区间[0，5]上的最小值为f(5)=，最大值为f(0)=.
8.(14分)求函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[1，2]上的单调性，然后求最大值和最小值.
【解析】任取x1，x2∈[1，2]，且x1<x2，
所以f(x2)-f(x1)=-==，
因为1≤x1<x2≤2，所以2<x1+x2<4，
即6<3(x1+x2)<12，
所以=，
又1<x1x2<4，x1-3<0，x2-3<0，所以<0，所以函数在区间[1，2]上为减函数，ymax=f(1)=-，ymin=f(2)=-4.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数f(x)=9-ax2(a>0)在[0，3]上的最大值为 ( )
A.9 B.9(1-a)
C.9-a D.9-a2
【解析】选A.因为a>0，
所以f(x)=9-ax2(a>0)开口向下，以y轴为对称轴，
所以f(x)=9-ax2(a>0)在[0，3]上单调递减，
所以x=0时，f(x)最大值为9.
2.(4分)已知y=ax+1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值
是 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
【解析】选C.①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；
②当a>0时，y=ax+1在[1，2]上递增，
则(2a+1)-(a+1)=2，解得a=2；
③当a<0时，y=ax+1在[1，2]上递减，
则(a+1)-(2a+1)=2，解得a=-2.
综上，得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________.
【解析】因为y=在区间上是减函数，y=-3x在区间上是减函数，所以函数f(x)=-3x在区间上是减函数，所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案：-4
4.(4分)函数f(x)=(x>0)的值域为________.
【解析】f(x)==≤=1，
当且仅当x==1时取等号.
又f(x)>0，所以0<f(x)≤1，
故函数f(x)的值域为(0，1].
答案：(0，1]
5.(14分)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.
(1)当a=2，x∈[-2，3]时，求函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时f(x)=x2+3x-3=-，对称轴为x=-<3，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以f≤y≤f(3)，
f(3)=15，f=-，所以该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是：x=-a.
当-a>1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1，所以a=-1；
当-a≤1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(3)=6a+3=1，所以a=-；
所以实数a的值a=-或a=-1.
1.已知x>1，则函数f(x)=2x+的最小值为________.
【解析】根据题意f(x)=2x+=2(x-1)++2，
又由x>1，即x-1>0，
则f(x)≥2=2+2，
即函数f(x)的最小值为2+2.
答案：2+2
2.(2019·通州高一检测)已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图像的对称轴为x=-，
所以当-≤0，即a≥0时，
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；
当->0，即a<0时，g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，函数g(a)的图像如图所示，
故g(a)≥2，又g(a)∈[5m，5n]，所以0<m<n.
又g(a)在(0，+∞)上是增函数，
所以
所以m，n是方程x2+x+2=5x，即x2-4x+2=0的两根，
解得m=2-，n=2+.
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