2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十三函数的最大值最小值新人教B版必修第一册.doc

课时素养评价
二十三　函数的最大值、最小值

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5，5)上的最大值、最小值点分别为 (　　)
A.42，- B.无最大值，-
C.42，- D.无最大值，-
【解析】选B.f(x)=x2+3x+2=-，
因为-5<-<5，
所以无最大值，f(x)min=f=-，故最小值点为-.
2.已知：f(x)=-，则 (　　)
A.f(x)max=，f(x)无最小值
B.f(x)min=1，f(x)无最大值
C.f(x)max=1，f(x)min=-1
D.f(x)max=1，f(x)min=0
【解析】选C.f(x)=-的定义域为[0，1]，因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max=1，f(x)min=-1.
3.函数f(x)=的最大值是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为t=1-x(1-x)=+≥，
所以0f(x)-c在[a，b]上有最小值f(b)-c
D.cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
【解析】选C，D.A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；
B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；
C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)-c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)-c，C正确；
D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c<0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.函数y=f(x)的定义域为[-4，6]，且在区间[-4，-2]上递减，在区间[-2，6]上递增，且f(-4)而f(x)=-x2+2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a<0.
答案：(-∞，0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)利用函数的平均变化率证明函数y=在区间[0，5]上是减函数.
【解析】设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则f(x2)-f(x1)=-=，
所以=，
又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则x1+2>0，x2+2>0，所以<0，
则函数y=在[0，5]上是减函数，
则函数f(x)在区间[0，5]上的最小值为f(5)=，最大值为f(0)=.
8.(14分)求函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值和最小值.
【解题指南】先证明函数y=在区间[12]上的单调性，然后求最大值和最小值.
【解析】任取x1，x2∈[1，2]，且x10)在[0，3]上的最大值为 (　　)
A.9 B.9(1-a)
C.9-a D.9-a2
【解析】选A.因为a>0，
所以f(x)=9-ax2(a>0)开口向下，以y轴为对称轴，
所以f(x)=9-ax2(a>0)在[0，3]上单调递减，
所以x=0时，f(x)最大值为9.
2.(4分)已知y=ax+1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值
是 (　　)

A.2 B.-2 C.±2 D.0
【解析】选C.①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；
②当a>0时，y=ax+1在[1，2]上递增，
则(2a+1)-(a+1)=2，解得a=2；
③当a<0时，y=ax+1在[1，2]上递减，
则(a+1)-(2a+1)=2，解得a=-2.
综上，得a=±2.
3.(4分)函数f(x)=-3x在区间上的最大值为________.  
【解析】因为y=在区间上是减函数，y=-3x在区间上是减函数，所以函数f(x)=-3x在区间上是减函数，所以f(x)max=f(2)=-3×2=-4.
答案：-4
4.(4分)函数f(x)=(x>0)的值域为________.  
【解析】f(x)==≤=1，
当且仅当x==1时取等号.
又f(x)>0，所以0
(2)若函数f(x)在[-1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
【解析】(1)当a=2时f(x)=x2+3x-3=-，对称轴为x=-<3，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以f≤y≤f(3)，
f(3)=15，f=-，所以该函数的值域为.
(2)函数f(x)=x2+(2a-1)x-3的对称轴是：x=-a.
当-a>1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(-1)=-2a-1=1，所以a=-1；
当-a≤1时，函数f(x)在[-1，3]上的最大值为f(3)=6a+3=1，所以a=-；
所以实数a的值a=-或a=-1.

1.已知x>1，则函数f(x)=2x+的最小值为________.  
【解析】根据题意f(x)=2x+=2(x-1)++2，
又由x>1，即x-1>0，
则f(x)≥2=2+2，
即函数f(x)的最小值为2+2.
答案：2+2
2.(2019·通州高一检测)已知函数f(x)=x2+ax+a2+1(a∈R)，设f(x)在[-1，1]上的最大值为g(a)，
(1)求g(a)的表达式.
(2)是否存在实数m，n，使得g(a)的定义域为[m，n]，值域为[5m，5n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为函数f(x)图像的对称轴为x=-，
所以当-≤0，即a≥0时，
g(a)=f(x)max=f(1)=a2+a+2；
当->0，即a<0时，g(a)=f(x)max=f(-1)=a2-a+2.
所以g(a)=
(2)假设存在符合题意的实数m，n，则由(1)可知，函数g(a)的图像如图所示，

故g(a)≥2，又g(a)∈[5m，5n]，所以0