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第1课时 函数的单调性
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上单调递减，则( )
A．k＞ B．k＜
C．k＞－ D．k＜－
答案 D
解析 当2k＋1＝0时，不符合题意，∴2k＋1≠0，由一次函数的单调性可知2k＋1＜0，即k＜－.
3．若函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝f(x)是定义域为R的增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
4．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，对于x1<0，x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)<f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
答案 B
解析 因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是定义域为R的减函数，所以f(－x1)<f(－x2)．
5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．故选C.
二、填空题
6．若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝都单调递减，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由于两函数在(1，＋∞)上都单调递减，应满足所以0<a<1.
7．设函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．
答案 f(－3)>f(－π)
解析 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
8．已知函数f(x)＝是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 依题意得实数a应满足
解得0<a≤2.
三、解答题
9．证明：函数f(x)＝－x3＋1是减函数．
证明 函数f(x)＝－x3＋1的定义域为R，
∀x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1).
∵x1<x2，∴x2－x1>0，2＋x>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)＝－x3＋1是减函数．
10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，试比较f与f(a2－a＋1)的大小．
解 ∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．
又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
∴f≥f(a2－a＋1).
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间及值域．
解 (1)f(x)的图象如下图．
(2)由图象和解析式可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]，其值域为[－1,3]．
2．已知函数f(x)，∀x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上单调递增；
(2)若f(4)＝5，求解不等式f(3m2－m－2)<3.
解 (1)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1)
＝f(x1)－f(x2－x1)－f(x1)＋1
＝1－f(x2－x1)．
因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1.
故f(x1)－f(x2)<0，
即当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增．
(2)f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
所以f(2)＝3.
由此可得f(3m2－m－2)<f(2)，
由(1)可知f(x)在R上单调递增，
所以3m2－m－2<2，
解得.
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