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第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
[A 基础达标]
1．(2019·河南林州第一中学期末检测)函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A．(，π) B．(π，2π)
C．(π，) D．(0，π)
解析：选C.作出函数y＝|sin x|的图象，如图，观察图象可知C正确．
2．函数f(x)＝sin(＋x)＋cos(－x)的最大值为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选D.由＋x与－x互余得f(x)＝2sin(x＋)．故f(x)的最大值为2，故选D.
3．函数y＝sin在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为.
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是 ( )
A．y＝cos|x| B．y＝|cos x|
C．y＝sin D．y＝－sin
解析：选C.y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝|cos x|在上是减函数，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
5．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．sin 3>sin 2
C．sinπ>sin D．sin 2>cos 1
解析：选D.因为sin 2＝cos＝cos，
且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，
即sin 2>cos 1.故选D.
6．函数y＝3cos(x－)在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
7．函数y＝cos的单调递减区间是________．
解析：令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以所求函数的单调递减区间为
，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．函数值sin π，sin π，sin π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：因为＜＜＜＜π，
又函数y＝sin x在上单调递减，
所以sin ＞sin ＞sin .
答案：sin ＞sin ＞sin
9．已知函数y＝sin.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
解： y＝sin，可化为y＝－sin.
(1)最小正周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin的单调递减区间为，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的单调递减区间为
，.
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin，x∈；
(2)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈.
解：(1)当x∈时，
2x－∈，
所以f(x)＝sin∈，
即sin∈.
所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝2＋.
因为x∈，
所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
[B 能力提升]
11．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π<a≤0时，满足条件．故a的取值范围是(－π，0]．
答案：(－π，0]
12．函数y＝log2的单调递增区间是________．
解析：由题意，得sin>0，所以2kπ<x＋<π＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z可得y＝sin的单调递增区间为
，k∈Z，
所以函数y＝log2的单调递增区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)解不等式：f≥.
解：(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)．
所以函数图象的对称轴方程为
x＝＋(k∈Z)．
(2)由f＝sin 2x≥，
得2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故不等式的解集是
.
14．已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解：(1)cos∈[－1，1]，
因为b>0，
所以－b<0，
所以a＝，b＝1.
(2)由(1)知：g(x)＝－2sin，
因为sin∈[－1，1]，
所以g(x)∈[－2，2]，
所以g(x)的最小值为－2，对应x的集合为
.
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．
解：由f(x)是偶函数，得sin φ＝±1，
所以φ＝kπ＋，k∈Z.
因为0≤φ≤π，所以φ＝.
由f(x)的图象关于点M(，0)对称，
得f()＝0.
因为f()＝sin(＋)
＝cos，所以cos＝0.
又因为ω>0，所以＝＋kπ，k∈N，
即ω＝＋k，k∈N.
当k＝0时，ω＝，此时f(x)＝
sin(x＋)在[0，]上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝
sin(2x＋)在[0，]上是减函数；
当k≥2时，ω≥，此时f(x)＝
sin(ωx＋)在[0，]上不是单调函数．
综上，ω＝或ω＝2.
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