资源描述
第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用
[A 基础达标]
1．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
解析：选D.由f＝f知，直线x＝是函数的对称轴，解得f＝3或－3.故选D.
2．(2019·贵阳市第一学期检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.
3．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋1
B．f(x)＝2sin－1
C．f(x)＝－2sin－1
D．f(x)＝2sin＋1
解析：选A.因为－A＋B＝－1，A＋B＝3，所以A＝2，B＝1，
因为T＝＝，所以ω＝3，又φ＝，
故f(x)＝2sin＋1.
4．若将函数y＝sin的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.将y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y＝sin＝sin的图象，再向右平移个单位可以得到y＝sin＝sin的图象，因此，g(x)＝sin，由g＝sin 0＝0，选项A正确．
5．函数y＝2sin与y轴最近的对称轴方程是________．
解析：对于函数y＝2sin，
令2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋，
因此，当k＝－1时，得到x＝－，故直线x＝－是与y轴最近的对称轴．
答案：x＝－
6．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．
解析：依题意知＝－＝，
所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A，B，则f(0)＝________．
解析：由函数图象可知函数f(x)的周期T＝－＝π，ω＝＝2.又f＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝，则cos φ＝－.因为φ∈[0，π]，所以φ＝，所以f(x)＝2cos，则f(0)＝－.
答案：－
8.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝，
所以f(x)＝2sin.
将点(－1，0)代入，
得0＝2sin.
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为－1≤x≤2，所以0≤x＋≤π，
所以0≤sin≤1，
所以0≤2sin≤2.
所以函数f(x)的值域为[0，2]．
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且图象上有一个最低点为M.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
解：(1)由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，可知函数f(x)的周期为π，所以ω＝＝2.
又函数f(x)图象上有一个最低点为M，
|φ|<，
所以A＝3，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝，所以f(x)＝3sin.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，则可得单调递增区间为，.
[B 能力提升]
10．(2019·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝cos，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.将f(x)＝cos的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得y＝cos的图象，再把所得图象向右平移|φ|个单位长度，可得y＝cos的图象．因为所得的图象关于原点对称，所以－4|φ|＋＝kπ＋，k∈Z，所以当k＝－1时，φ的一个值是.
11．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2，φ＝ B．A＝3，φ＝
C．A＝2，φ＝ D．A＝3，φ＝
解析：选C.由题图知：A＝＝2，
又f(0)＝|2cos φ＋1|＝2，
所以cos φ＝或cos φ＝－(舍)，
因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，
所以φ＝，故选C.
12.已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有f＝－f(x)成立．
(1)求证：函数f(x)是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图象如图所示，求出f(x)的解析式，并写出它的对称轴方程．
解：(1)因为f＝－f(x)，
所以f＝－f
＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，它的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以＝π，所以ω＝2.
由题中图象知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又2×＋φ＝π，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以它的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
13．已知函数f(x)＝asin＋1(a＞0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；
(2)写出该函数的对称中心的坐标．
解：(1)当－≤x≤－时，则－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝时，f(x)有最大值为＋1.
又因为f(x)的最大值为2，所以＋1＝2，解得a＝2.
(2)f(x)＝2sin＋1，令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的横坐标为－，k∈Z.
又因为函数f(x)＝2sin＋1的图象是函数f(x)＝2sin的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的纵坐标为1，所以对称中心的坐标为，k∈Z.
[C 拓展探究]
14．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解：(1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin的图象．
(2)因为x∈[0，3π]，
所以x＋∈，
sin∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示：故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为∪{1，－1}．
- 8 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
