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第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
[A 基础达标]
1．函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10.
2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数；
y＝sin＝cos 2x是偶函数；y＝cos＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
3．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数 B．是非奇非偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
又f(x)＝xsin＝xcos x，
所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
4．函数：①y＝x2sin x；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin x，x∈[－π，π]；④y＝xcos x中，奇函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①③④是奇函数．故选C.
5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.
6．函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
7．已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.
解析：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.
答案：＋1
8．若0<α<，g(x)＝sin(2x＋＋α)是偶函数，则α的值为________．
解析：要使g(x)＝sin(2x＋＋α)为偶函数，则须＋α＝kπ＋，k∈Z.所以α＝kπ＋，k∈Z.因为0<α<，所以α＝.
答案：
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)因为x∈R，
f(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin 2x(－cos x)＝sin 2xcos x，
所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)
＝－sin 2xcos x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)函数应满足1－sin x≠0，
所以函数的定义域为，
显然定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝为非奇非偶函数．
(3)由得cos x＝1，
所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解：(1)y＝sin x＋|sin x|＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
[B 能力提升]
11．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选B.f(x)＝sin＝－sin＝－cos 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选B.
12．已知f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．
解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
所以f(－5)＝－f(5)＝2.
答案：2
13．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
[C 拓展探究]
14．判断函数y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．
解：因为x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，
所以y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]不是周期函数．
要使函数为周期函数，需将条件x∈[－π，π]改为x∈R.
因为当x∈R时，则有：
y＝cos(2x－＋2π)＝cos[2(x＋π)－]
＝cos(2x－)，
所以y＝cos(2x－)是以π为周期的周期函数．
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