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课时素养评价
七 全称量词命题与存在量词命题的否定
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.命题“∃x∈R，x2=x”的否定是 ( )
A.∃x∈R，x2≠x B.∀x∈R，x2=x
C.∃x∉R，x2≠x D.∀x∈R，x2≠x
【解析】选D.该命题的否定：∀x∈R，x2≠x.
2.已知命题p：∃x，y∈Z，x2+y2=2015，则p为 ( )
A.∀x，y∈Z，x2+y2≠2015
B.∃x，y∈Z，x2+y2≠2015
C.∀x，y∈Z，x2+y2=2015
D.不存在x，y∈Z，x2+y2=2015
【解析】选A.含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为全称量词，再将结论否定即可.所以p为∀x，y∈Z，x2+y2≠2015.
3.设命题p：∀x∈Q，x2∈Q，则 ( )
A.p为真命题
B.p：∀x∈Q，x2∉Q
C.p：∃x∉Q，x2∈Q
D.p：∃x∈Q，x2∉Q
【解析】选D.因为命题p为真命题，所以命题p的否定为假命题，p：∃x∈Q，x2∉Q.
4.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是 ( )
A.p：所有四边形的内角和都是360°
B.q：∃x∈R，x2+2x+2≤0
C.r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
D.s：对所有实数a，都有|a|>0
【解析】选B、D.A.p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题.
B.q：∀x∈R，x2+2x+2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x +1)2+1≥1>0恒成立.
C.r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题.
D.s：存在实数a，使|a|≤0，真命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.命题“∃x>-1，x2+x-2019>0”的否定是________.
【解析】已知命题是存在量词命题，其否定为“∀x>-1，x2+x-2019≤0”.
答案：∀x>-1，x2+x-2019≤0
【加练·固】
若命题p：∀x∈R，<0，则p：________.
【解析】p：∃x∈R，使>0或x-2=0.
答案：∃x∈R，使>0或x-2=0
6.命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为________ ，此命题的否定是______________，是________命题(填“真”或“假”).
【解析】此命题用符号表示为∃x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题.
答案：∃x，y∈R，x+y>1 ∀x，y∈R，x+y≤1 假
三、解答题
7.(16分)写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)任何有理数都是实数.
(2)存在一个实数a，能使a2+1=0成立.
【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数.因为原命题是真命题，所以其否定是假命题.
(2)该命题的否定：任意一个实数a，不能使a2+1=0成立.因为a2=-1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题.
【加练·固】
写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：∀x∈R，x2-x+≥0.
(2)p：所有的正方形都是菱形.
(3)p：至少有一个实数x，使x3+1=0.
【解析】(1)是全称量词命题，p：∃x∈R，x2-x+<0.因为对于任意的x，x2-x+=≥0，所以p为假命题.
(2)是全称量词命题，p：存在一个正方形不是菱形.正方形是特殊的菱形，所以p为假命题.
(3)是存在量词命题，p：∀x∈R，x3+1≠0.因为x=-1时，x3+1=0，所以p为假命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)∃m，n∈Z，使得m2=n2+1 998的否定是 ( )
A.∀m，n∈Z，使得m2=n2+1 998
B.∃m，n∈Z，使得m2≠n2+1 998
C.∀m，n∈Z，使得m2≠n2+1 998
D.以上都不对
【解析】选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：
∀m，n∈Z，有m2≠n2+1 998.
2.(4分)已知命题p：∃x∈(1，3)，x-a≥0；若p是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，1) B.(3，+∞)
C.(-∞，3] D.[3，+∞)
【解析】选D.p是真命题，所以p是假命题，所以∃x∈(1，3)，x-a≥0无解，所以当1<x<3时，a≤x不成立，所以a≥3.
3.(4分)已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则q为________.
【解析】q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
答案：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆
4.(4分)已知命题p：∃x>0，x+a-1=0，若p为假命题，则a的取值范围是________.
【解析】因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x+a-1≠0是真命题，所以x≠1-a，所以1-a≤0，所以a≥1.
答案：[1，+∞)
5.(14分)命题p是“对任意实数x，有x-a>0或x-b≤0”，其中a，b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
【解析】(1)命题p的否定：存在实数x，有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真，则需要使不等式组的解集不为空集.
通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b<a.
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