1、-1-第第 2 2 课时课时 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 A 基础达标 1函数yx1x在1，2上的最大值为()A0 B.32 C2 D3 解析：选 B.函数yx在1，2上是增函数，函数y1x在1，2上是增函数，所以函数yx1x在1，2上是增函数 当x2 时，ymax21232.2(2019河南林州一中期末考试)函数f(x)1x，x1x22，x1的最大值为()A1 B2 C.12 D.13 解析：选 B.当x1 时，函数f(x)1x为减函数，此时f(x)在x1 处取得最大值，最大值为f(1)1；当x1 时，函数f(x)x22 在x0 处取得最大值，最大值为f(0)2.综上可得，f(
2、x)的最大值为 2，故选 B.3若函数yax1 在1，2上的最大值与最小值的差为 2，则实数a的值是()A2 B2 C2 或2 D0 解析：选 C.当a0 时，由题意得 2a1(a1)2，即a2；当a0 时，a1(2a1)2，所以a2.综上a2.4已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0 C1 D2 解析：选 C.因为f(x)(x24x4)a4(x2)24a，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x2.-2-所以f(x)在0，1上单调递增 又因为f(x)min2，所以f(0)2，即a2.所以f(x)maxf(1)1421.5函数f(x)23x在
3、区间1，3上的最大值是_ 解析：因为f(x)23x在1，3上为单调增函数，所以f(x)的最大值为f(3)211.答案：1 6 若函数f(x)x26xm在区间2，)上的最小值是3，则实数m的值为_ 解析：函数f(x)x26xm的对称轴是直线x3，开口向上，所以函数f(x)在2，3上单调递减，在(3，)上单调递增，故函数在x3 处取得最小值，由f(3)3263m3，解得m6.故实数m的值为 6.答案：6 7用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_m.解析：设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，则Sx244x2x(122x)2x212x2(
4、x3)218，所以当x3 时，S有最大值 18.答案：3 8求函数yf(x)x2x3在区间1，2上的最大值和最小值 解：x1，x2，且 1x1x22，则f(x1)f(x2)x21x13x22x23 x21x23x21x1x223x22（x13）（x23）（x2x1）3（x1x2）x1x2（x13）（x23），因为 1x1x22，所以 2x1x24，即 63(x1x2)12，又 1x1x20，x130，x230.所以函数yx2x3在区间1，2上为减函数，ymaxf(1)12，yminf(2)4.9已知函数f(x)x22ax2，x5，5(1)当a1 时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)若yf(
5、x)在区间5，5上是单调函数，求实数a的取值范围 解：(1)当a1 时，f(x)x22x2(x1)21.因为x5，5，故当x1 时，f(x)取得最小值为 1，当x5 时，f(x)取得最大值为 37.(2)函数f(x)(xa)22a2图象的对称轴为直线xa.因为f(x)在5，5上是单调的，故a5 或a5.即实数a的取值范围是a5 或a5.B 能力提升 10 设f(x)为yx6 和yx24x6 中较小者，则函数f(x)的最大值为_ 解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图象，由图可知f(x)的图象是图中的实线部分，观察图象可知此函数的最大值为 6.答案：6 11某商场经营一批进价是每件 30
6、元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y 27 12(1)确定x与y的一个一次函数关系式yf(x)(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，由表格得方程组45ab27，50ab12，解得a3，b162，-4-所以yf(x)3x162.又y0，所以 30 x54，故所求函数关系式为y3x162，x30，54，xN N.(2)由题意得，P(x30)y(
7、x30)(1623x)3x2252x4 860，x30，54，xN N.配方得，P3(x42)2432，当x42 时，最大的日销售利润P432，即当销售单价为 42 元时，才能获得最大的日销售利润 12已知函数f(x)对任意x，yR R，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0 时，f(x)0，f(1)23.(1)求证：f(x)是 R R 上的单调减函数；(2)求f(x)在3，3上的最小值 解：(1)证明：x1，x2，且x10，因为x0 时，f(x)0，所以f(x2x1)0，又因为x2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1 f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2
8、x1)0，所以f(x2)f(x1)所以f(x)是 R R 上的单调递减函数(2)由(1)可知f(x)在 R R 上是减函数，所以f(x)在3，3上也是减函数，所以f(x)在3，3上的最小值为f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)3232.所以函数f(x)在3，3上的最小值是2.C 拓展探究 13请先阅读下面材料，然后回答问题 对应问题“已知函数f(x)132xx2，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”一个同学给出了如下解答：令u32xx2，则u(x1)24，当1 时，u有最大-5-值，umax4，显然u没有最小值 所以当x1 时，f(x)
9、有最小值14，没有最大值(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答(2)试研究函数y1x2x2的最值情况(3)对于函数f(x)1ax2bxc(a0)，试研究其最值的情况 解：(1)不正确没有考虑到u还可以小于 0.正确解答如下：令u32xx2，则u(x1)244.当 0u4 时，1u14，即f(x)14；当u0 时，1u0，即f(x)0.所以f(x)0 或f(x)14.即f(x)既无最大值，也无最小值(2)因为x2x2x1227474，所以 0y47，所以函数y1x2x2的最大值为47当x12时，没有最小值(3)对于函数f(x)1ax2bxc(a0)令uax2bxc，当
10、0 时，u有最小值，umin4acb24a0；当4acb24au0 时.1u4a4acb2，即f(x)4a4acb2；当u0 时，即f(x)0.所以f(x)0 或f(x)4a4acb2，即f(x)既无最大值，也无最小值 当0 时，u有最小值，umin4acb24a0，结合f(x)1u知u0，-6-所以u0，此时1u0，即f(x)0，f(x)既无最大值，也无最小值 当0 时，u有最小值，umin4acb24a0，即u4acb24a0.所以 01u4a4acb2，即 0f(x)4a4acb2，所以当xb2a时，f(x)有最大值4a4acb2，没有最小值 综上，当0 时，f(x)既无最大值，也无最小值 当0 时，f(x)有最大值4a4acb2，此时x b 2a)，没有最小值
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