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第1课时 函数的单调性
[A 基础达标]
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x＋1|
解析：选B.y＝3－x，y＝，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．
3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)
解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.
4．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
解析：选C.因为y＝|x＋2|＝作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，
在[－2，0]上为增函数．
5．(2019·宣城检测)已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
6．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________．
解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.
答案：(－∞，2]
8．已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f(x)<2的解集为________．
解析：因为A(0，－2)，B(－3，2)在函数y＝f(x)的图象上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2<f(x)<2可化为f(0)<f(x)<f(－3)，又f(x)在R上是减函数，因此－3<x<0.
答案：(－3，0)
9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示，
由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]；
单调递增区间为(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
解：(1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1.
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
因为x1<x2，所以x2－x1>0.
又因为x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x2＋1>0，x1＋1>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)．
所以函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
[B 能力提升]
11．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B.
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
解析：选B.由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
12．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.
13．已知定义在[1，4]上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)>0的实数a的取值范围．
解：由题意，可得f(1－2a)>f(3－a)．
因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，
所以，
解得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[－1，0]．
14．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设1<x1<x2，所以x1x2>1.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)·<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，
即a>－x1x2.
因为1<x1<x2，x1x2>1，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
[C 拓展探究]
15．设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)．问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数？
解：假设存在这样的实数λ，则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，得g(x)＝(x2＋1)2＋1，
所以F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)·x2＋2－λ.
令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上递减，且当x∈时，t＞；当x∈时，0＜t＜.
故要使F(x)在上递减，在上递增，
则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上递增，在上递减，
所以函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图象的对称轴t＝为t＝，即＝，则λ＝3.
故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数．
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