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第2课时 函数的平均变化率
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x2＋4图像上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
答案 B
解析 ∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝＝＝2.3，故选B.
2．函数f(x)＝在区间上的平均变化率为( )
A．2 B.
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝在区间上的平均变化率为＝＝.故选B.
3．函数f(x)＝的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 当x≥1时，f(x)≤f(1)＝1，当x<1时，f(x)≤f(0)＝2，所以函数f(x)的最大值为2.故选B.
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图像大致是( )
答案 C
解析 判断S＝f(t)的图像，可用观察法，直线l在运动到B点之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了B点之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图像上是陡、缓．故选C.
5．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
答案 D
解析 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图像知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
二、填空题
6．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．
答案 －1
解析 由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率＝＝＝－1.
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝_______，b＝_______.
答案 －2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)，由－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．
8．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 －x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.
三、解答题
9．证明函数f(x)＝＋x是增函数．
证明 设x1≠x2，
则＝＝.
∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，
∴＝＋1.
∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴>0.
∴函数f(x)＝＋x是增函数．
10．判断函数f(x)＝在区间[2,4]上的单调性，
并求这个函数在该区间上的最值．
解 设x1≠x2，则＝
＝＝.
∵x1，x2∈[2,4]，∴x1＋2>0，x2＋2>0.
∴>0，∴函数f(x)＝在区间[2,4]上是增函数．故该函数在区间[2,4]上的最大值为f(4)＝，最小值为f(2)＝.
B级：“四能”提升训练
1．很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．若已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系式为V(r)＝πr3，从数学的角度，如何描述这种现象呢？
解 将半径r表示为体积V的函数，得r(V)＝.
当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，即随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．
2．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝2，试证明f(x)在(－∞，2)上单调递减；
(2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
解 (1)证明：当a＝2时，f(x)＝.
设x1≠x2，则＝＝＝.
当x1，x2∈(－∞，2)时，有x1－2<0，x2－2<0，
∴<0.∴f(x)在(－∞，2)上单调递减．
(2)设x1≠x2，则＝＝＝.
∵a>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴(x2－a)(x1－a)>0在(1，＋∞)上恒成立．
∴a≤1.∴实数a的取值范围为(0,1]．
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