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章末综合检测（二） 一元二次函数、方程和不等式
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a2＞b2 B．ac2＞bc2
C．a＋c＞b＋c D．＜
解析：选C ∵1＞－2，但是＜不成立，故D不正确；∵－1＞－2，但是(－1)2＞(－2)2不成立，故A不正确；
∵a＞b，∴a＋c＞b＋c，C正确；c＝0时，0＝ac2＞bc2＝0，不成立，故选C.
2．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
解析：选A ∵m≠2，n≠－1，∴M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，∴M＞－5.
3．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则(∁UA)∩B等于( )
A．{x|－1≤x＜4} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2＜x≤3} D．{x|－1＜x＜4}
解析：选C ∵A＝{x|x＞3或x＜－1}，∴∁UA＝{x|－1≤x≤3}．
又∵B＝{x|2＜x＜4}，∴(∁UA)∩B＝{x|2＜x≤3}，故选C.
4．若0<x<2，则x(2－x)的最大值是( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：选C 因为0<x<2，所以2－x＞0，x(2－x)≤2＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，取“＝”，故选C.
5．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由已知得mx2＋8mx＋28＝0的两个根为－7，－1，则－7×(－1)＝，所以m＝4.
6．已知＋＝1(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：选D 因为＋＝1(x＞0，y＞0)，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝，即x＝6，y＝12时取等号，所以x＋y的最小值为18.
7．当≤x≤3时，的最小值为( )
A． B．
C．－1 D．0
解析：选D ＝x＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
所以的最小值是0.
8．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件 B．5 000件
C．2 500件 D．1 000件
解析：选D 设每次进货x件，费用为y元．由题意y＝100×＋2×＝＋x≥2＝2 000，当且仅当x＝1 000时取等号，y最小，故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________．
解析：∵c＞d＞0，∴＞＞0，∵a＞b＞0，∴＞＞0，∴＞.
答案：＞
10．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．
解析：由题意得，解得0<m≤1.
答案：{m|0<m≤1}
11．若不等式ax2－6x＋a>0对x∈R恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：当a＝0时，不等式解为x<0，与已知矛盾．
当a≠0，需满足解得a>3.
综上可知a>3.
答案：{a|a>3}
12．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当a2＝2b2，且ab＝时取等号，故的最小值是4.
答案：4
三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13．(8分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．
(2)原不等式等价于即
因式分解，得所以
所以－3<x≤－2或3≤x<6.
所以原不等式的解集为{x|－3<x≤－2或3≤x<6}．
14．(10分)你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0<x<50.
由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)>600，
即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.
所以，当矩形一边的长在20<x<30的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
15．(10分)已知a>0，b>0且＋＝1.
(1)求ab的最小值；
(2)求a＋b的最小值．
解：(1)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以＋≥2＝2，则2≤1，
即ab≥8，当且仅当
即时取等号，
所以ab的最小值是8.
(2)因为a>0，b>0且＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当即时取等号，
所以a＋b的最小值是3＋2.
16.(12分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
则ab＝9 000. ①
广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0.
广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)
＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b
≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500.
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75.
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2.
故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告的面积最小．
B卷——高考应试能力标准练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是( )
A．ab＞ac B．a|c|＞b|c|
C．|ab|＜|bc| D．(a－b)|c－b|＞0
解析：选D 选项A，必须满足a＞0，故不恒成立；选项B，|c|＝0时，结论不成立；选项C，|b|＝0时，结论显然不成立；选项D，∵a＞b＞c，∴a－b＞0.又∵|c－b|>0，∴D正确．故选D.
2．不等式x2－3x＋2＜0的解集是( )
A．{x|x<1} B．{x|x>2}
C．{x|1<x<2} D．{x|x<1，或x>2}
解析：选C 不等式对应的方程为x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，解得方程的根为x＝2或x＝1，∴不等式x2－3x＋2＜0的解集为{x|1<x<2}，故选C.
3．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：选A ∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
4．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济(够用且耗材最少)的选法是( )
A．4.6 m B．4.8 m
C．5 m D．5.2 m
解析：选C 设直角三角形的一条直角边为x，则另一直角边为，斜边为，所以周长为l＝x＋＋≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝≈1.414时，等号成立，所以l≈2.828＋2＝4.828，故选C.
5．已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
解析：选B 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.
6．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是( )
A．{x|x<5a或x>－a} B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a<x<5a} D．{x|5a<x<－a}
解析：选A 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a,5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.
7．不等式>1的解集为( )
A. B.{x|x<1}
C. D.
解析：选A 原不等式等价于－1>0，
即>0，整理得<0，
不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得<x<1.
8．已知关于x的不等式x2－4x≥m，对任意0<x≤1恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m<0 D．m≥－4
解析：选A 令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，则在0<x≤1上，当x＝1时，y最小值为－3，所以m≤－3.
9．在使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－3 B．－4
C．－ D．－
解析：选D ∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝时等号成立，∴－－≤－，∴－－的上确界为－.
10．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则x1＋x2＋的最大值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，
根据根与系数的关系，可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，
那么x1＋x2＋＝4a＋.
∵a<0，
∴－4a－≥2＝，
即4a＋≤－，
故x1＋x2＋的最大值为－.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．如图，在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为________________．
解析：仓库的长L＝－10，∴－10＞4W.
答案：－10＞4W
12．已知x＞0，则的最大值为________．
解析：因为＝， 又x>0时，x＋≥2＝4, 当且仅当x＝， 即x＝2时取等号，所以0<≤，即的最大值为.
答案：
13．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式：①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；因为a2＋b2≥＝2，所以③正确；因为＋＝＝≥2，所以④正确．
答案：①③④
14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
解析：由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以xmin＝20.
答案：20
三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(8分)已知2<x<3,2<y<3.分别求
(1)2x＋y的取值范围；
(2)x－y的取值范围；
(3)xy的取值范围．
解：(1)因为2<x<3,2<y<3，所以4<2x<6，所以6<2x＋y<9，故2x＋y的取值范围为6<2x＋y<9.
(2)因为2<x<3,2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－1<x－y<1，故x－y的取值范围为－1<x－y<1.
(3)因为2<x<3,2<y<3，所以4<xy<9，故xy的取值范围为4<xy<9.
16．(10分)解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a＜0)．
解：ax2＋(1－a)x－1＞0可得(ax＋1)(x－1)＞0，
即(x－1)＜0.
当－＜1时，即a＜－1时，不等式的解为－＜x＜1，
当－＞1时，即－1＜a＜0，不等式的解为1＜x＜－，
当－＝1时，即a＝－1时，不等式的解集为∅.
综上所述，
当a＜－1时，不等式的解集为；
当－1＜a＜0时，不等式的解为；
当a＝－1时，不等式的解集为∅.
17．(10分)(1)已知a，b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10.
解：(1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1.
又∵a＞0，b＞0，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．
由得
∴当a＝12，b＝6时，a＋b取得最小值18.
(2)证明：＋＋
＝＋＋
＝4＋＋＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴＋＋≥10.
18．(10分)已知“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，知m＝x2－x＝2－.
由－1<x<1，得－≤m<2，
故M＝.
(2)由x∈N是x∈M的必要条件，知M⊆N.
①当a>2－a，即a>1时，N＝{x|2－a<x<a}，
则解得a>.
②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a<x<2－a}，
则解得a<－.
③当a＝2－a，即a＝1时，N＝∅，不满足M⊆N.
综上可得，实数a的取值范围为.
19.(12分)桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝(3x－16)×＝1 832－6x－y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)法一：S＝1 832－6x－y≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝y且xy＝1 800，即x＝40，y＝45时，S取得最大值1 352.
法二：S＝1 832－6x－×＝1 832－≤1 832－2＝1 832－480＝1 352，
当且仅当6x＝，即x＝40时取等号，S取得最大值．此时y＝＝45.
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