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第二章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a<0，－1<b<0，则( )
A．－a<ab<0 B．－a>ab>0
C．a>ab>ab2 D．ab>a>ab2
答案 B
解析 ∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，a<ab2<0，故A，C，D都不正确，正确答案为B.
2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则>，则A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确．故选C.
3．不等式x2－3x＋2<0的解集是( )
A．{x|x<－2或x>－1}
B．{x|x<1或x>2}
C．{x|1<x<2}
D．{x|－2<x<－1}
答案 C
解析 方程x2－3x＋2＝0的两根为1和2，所以不等式x2－3x＋2<0的解集为{x|1<x<2}．故选C.
4．不等式≥2的解集为( )
A．{x|－1≤x<0)
B．{x|x≥－1}
C．{x|x≤－1}
D．{x|x≤－1或x>0}
答案 A
解析 原不等式变形为－2≥0，即x(1＋x)≤0，且x≠0，解得－1≤x<0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x<0}．
5．不等式<x＋1的解集为( )
A．{x|x>－3}
B.
C．{x|x>1}
D．{x|x>或－<x<1}
答案 D
解析 原不等式可以变形为<0，即>0，故原不等式的解集为{x|x>或－<x<1}．
6．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2，x∈R}，P＝x，则M∩P等于( )
A．{x|－1<x≤3，x∈Z}
B．{x|0≤x≤3，x∈Z}
C．{x|－1≤x≤0，x∈Z}
D．{x|－1≤x<0，x∈Z}
答案 A
解析 ∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1<x≤4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|－1<x≤3，x∈Z}．
7．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2 B．－2≤m≤2
C．m<－2或m>2 D．－2<m<2
答案 B
解析 因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.
8．若实数a，b满足a＋2b＝2，则3a＋9b的最小值是( )
A．18 B．6 C．2 D．2
答案 B
解析 3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2＝6，当且仅当3a＝32b，即a＝2b＝1时，等号成立．故选B.
9．已知x>1，则x＋＋5的最小值为( )
A．－8 B．8 C．16 D．－16
答案 B
解析 ∵x>1，∴x－1>0，x＋＋5＝x－1＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.
10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a的取值范围应是( )
A．90<a<100 B．90<a<110
C．100<a<110 D．80<a<100
答案 A
解析 设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.∴售价a的取值范围为90<a<100.
11．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0的解集为( )
A．{x|x<－或x>}
B．{x|－3<x<1}
C．{x|－1<x<3}
D．{x|x<－3或x>1}
答案 D
解析 由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1，且a<0，∴＝1，＝－2.∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0可化为x2＋x＋－1>0，即x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.
12．已知x>0，y>0,8x＋2y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D
解析 当x>0，y>0时，8x＋2y－xy＝0⇔＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2×4＝18，当且仅当即x＝6，y＝12时，x＋y取得最小值18.故选D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
答案 {x|x<－10或x>1}
解析 ax2＋bx＋c>0的解集是，所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是和，且a<0，由根与系数的关系可得：－＝，＝，解得b＝－a，c＝a，所以不等式2cx2－2bx－a<0变形为ax2＋ax－a<0，即x2＋9x－10>0，其解集是{x|x<－10或x>1}．
14．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 3
解析 x＋≥a恒成立⇔min≥a.∵x>1，∴x－1>0，∴x＋＝x－1＋＋1
≥2 ＋1＝3(当x＝2时取等号)．
∴a≤3，即a的最大值为3.
15．设点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，则mn的最大值是________．
答案
解析 ∵点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，∴m＋n＝1且m>0，n>0.∴mn≤2＝，当且仅当m＝n＝时等号成立．
16．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．
答案 2
解析 C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a>0，试比较a与的大小．
解 a－＝＝.
因为a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0<a<1时，<0，有a<.
综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<.
18．(本小题满分12分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.
证明 证法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋
＝ ＋ ＋
<＋＋
＝＋＋.
故原不等式成立．
证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab
＝＋＋
> ＋＋
＝＋＋.
故原不等式成立．
19．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解 (1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，
由根与系数的关系，得
解得a＝1，b＝2.
(2)由(1)，知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.
所以当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.
20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 ①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒为正数，得解得1<m<19.
综合①②得，实数m的取值范围为1≤m<19.
21．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求2＋2的最小值．
解 2＋2
＝a2＋b2＋＋＋4
＝(a2＋b2)＋4
＝[(a＋b)2－2ab]＋4
＝(1－2ab)·＋4，
由a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以1－2ab≥1－＝，且≥16，
所以2＋2≥×(1＋16)＋4＝，
所以2＋2的最小值为.
22．(本小题满分12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；
(2)设mA＝mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
解 设mA＝x，mB＝y.
(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲＝；
甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
h甲＝ ；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
h乙＝ .
当x＝y时，h甲＝
＝ ＝ ，
h乙＝ ＝
＝ ，
故h甲＝h乙．
(2)当x＝y时，
由(1)知h甲＝h乙＝ ，
因为＝≤，当且仅当y＝10时，等号成立．当y＝10时，x＝6.
因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.
(3)由(2)知h0＝.
因为h甲h乙＝
＝ ≤，
所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．
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