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课时素养评价 七
对数函数的性质与图像的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知函数f(x)=loga(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是
( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
【解析】选A.由题意,
解得所以f(x)=log4(x-3),
所以f(x)是增函数,因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称.所以f(x)为非奇非偶函数.
【加练·固】
已知函数f(x)=loga(x-2),若图像过点(11,2),则f(5)的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【解析】选B.由函数图像过点(11,2),
则loga(11-2)=2,解得a=3.
故f(5)=log3(5-2)=1.
2.(2019·重庆高一检测)已知a=21.1,b=log23,c=,则a,b,c的大小关系为
( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
【解析】选A.21.1>2,=.又2>log23>log2=log2=,所以a>b>c.
3.(2019·临安高一检测)函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为 ( )
A.(0,1] B.(0,+∞)
C.[1,+∞) D.(2,+∞)
【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,
故f(x)=2+log6(6x+1)>2.
4.(多选题)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,10)上单调递增
D.f(x)在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,
又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),
故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),则函数f(x)是________函数(填奇或偶或非奇非偶).若f(a)=2,则f(-a)=________.
【解析】因为lg=lg,所以x∈(-1,1),且f(-x)=lg=lg =-lg=-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(-a)=-f(a)=-2.
答案:奇 -2
6.(2019·徐州高一检测)函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.
【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,
所以解得1<a≤.
答案:{a|1<a≤}
三、解答题(共26分)
7.(12分)(2019·静海高一检测)已知函数f=loga(x+2)-1(a>0且a≠1).
(1)若f=2,求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值.
【解析】(1)因为f(6)=2,所以loga8-1=2,
所以loga8=3,即a3=8,所以a=2.
所以f(x)=log2(x+2)-1,
令f(x)=0,即log2(x+2)-1=0,
所以log2(x+2)=1,
所以x+2=2,所以x=0.
即f(x)的零点为0.
(2)因为无论a>1或0<a<1,f(x)均为单调函数
所以最值均在区间端点取得
因为f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,所以f(1)+f(2)=0,
即loga3-1+loga4-1=0,
所以loga3+loga4=2,
所以loga12=2,
所以a2=12,所以a=±2,
又因为a>0且a≠1,
所以a=2.
8.(14分)已知1≤x≤4,求函数f(x)=log2×log2的最大值与最小值.
【解析】因为f(x)=log2×log2
=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又因为1≤x≤4,
所以0≤log2x≤2,
所以当log2x=,
即x==2时,f(x)取最小值-;
当log2x=0,
即x=1时,f(x)取最大值2,
所以函数f(x)的最大值是2,最小值是-.
【加练·固】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
【解析】(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x∈,
所以t的取值范围为,
即t∈[-2,2].
(2)记t=log2x,则
y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)=-(-2≤t≤2).
因为y=-在上递减,在上递增,
所以当t=log2x=-,即x==时,
y=f(x)有最小值f=-;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图像如图所示,则函数g(x)=logb(x +a)的图像可能是 ( )
【解析】选B.由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,排除A、D,结合a的范围可知选B.
2.(4分)已知函数y=|logx|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为 ( )
A. B.
C.[1,2] D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|logx|的图像(如图),
可知f=f(2)=1,
由题意结合图像知:1≤m≤2.
3.(4分)(2019·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=lg(+ax)图像关于原点对称.则实数a的值为________.
【解析】函数图像关于原点对称,通过表达式可知函数的定义域是R,故得到函数是奇函数,
故-f(1)=f(-1),-lg(a+)=lg(-a),a+=,解得a=±2.
答案:±2
4.(4分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增加的,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-<log4x<,
即log4<log4x<log4,得<x<2.
答案:
5.(7分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图像上时,点在函数y=g(x)的图像上.
(1)写出y=g(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
【解析】(1)依题意,得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0,
得log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.
6.(7分)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,
所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3<x<3,
所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3[(3+x)(3-x)]
=log3(9-x2)且x∈(-3,3),
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,f(x)min=log33=1.
1.(2019·郑州高一检测)若函数f(x)=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是________.
【解析】令t=x2-ax+1,y=logat,
(1)当0<a<1时,函数y=logat单调递减,而函数t=x2-ax+1没有最大值,则函数f(x)没有最小值.
(2)当a>1时,函数y=logat单调递增,当且仅当Δ=a2-4<0时函数t=x2-ax+1有最小值,因此,可得:1<a<2.
综上,1<a<2.
答案:1<a<2
2.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使函数的解析式有意义,
自变量x须满足可得-2<x<2.
故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2,2).
(2)因为不等式f(x)>m有解,所以m<f(x)max,
f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),
令t=4-x2,因为-2<x<2,所以0<t≤4,
因为y=lg x为增函数,
所以f(x)的最大值为lg 4,所以m的取值范围为m<lg 4.
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