资源描述
第1课时 单调性的定义与证明
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 ∵y＝x2＋x＋1＝2＋，其图像的对称轴为直线x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时，函数单调递减．
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案 A
解析 B项在R上为减函数；C项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.
3．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
4．若函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的递增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
答案 B
解析 ∵函数f(x)的增区间为(－2,3)，则f(x＋5)的递增区间满足－2<x＋5<3，即－7<x<－2.故选B.
5．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
答案 C
解析 当a＝0时，不满足题意；当a>0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.
二、填空题
6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f(－4)<f(6)，则函数f(x)的最小值是______，最大值是______．
答案 f(－2) f(6)
解析 函数y＝f(x)在[－4,6]上的图像的变化趋势如图所示，观察可知f(x)min＝f(－2)．
又由题意可知f(－4)<f(6)，
故f(x)max＝f(6)．
7．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．
答案 f(－3)>f(－π)
解析 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
8．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 依题意得实数a应满足
解得0<a≤2.
三、解答题
9．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝，
∵1≤x1<x2，
∴x2＋x1>0，x2－x1>0, ＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图像；
(2)写出函数f(x)的单调递增区间及最大值和最小值．
解 (1)函数f(x)的图像如下图．
(2)函数f(x)在[－1,0]和[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．
由图像知f(x)max＝f(0)＝3，f(x)min＝f(2)＝－1.
B级：“四能”提升训练
1．设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性并用定义给予证明；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增．
设x1，x2是区间(－1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝，
因为x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，
所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增；
同理，当x1，x2∈(－∞，－1)且x1<x2时，
有x1－x2<0，
x1＋1<0，x2＋1<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增．
(2)设0<x1<x2，
则x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x1)－f(x2)>0.
而f(x1)－f(x2)＝，
所以当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)>0.
所以f(x1)>f(x2)．
所以当a<－1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．即所求实数a的取值范围是(－∞，－1)．
2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：函数f(x)是R上的单调递减函数；
(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最小值．
解 (1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，
且x1<x2，则x2－x1>0，
因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0.
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)<f(x1)．
所以函数f(x)是R上的单调递减函数．
(2)由(1)可知函数f(x)在R上是减函数，
所以函数f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
5
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
