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课时分层作业(二十一)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A. B.
C．1 D．5
A [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.]
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定，与m的取值有关
A [圆心到直线的距离d＝＝<1＝r.故相交．]
3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D [圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.]
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
A [由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.]
5．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4 B．0或3
C．－2或6 D．－1或
A [由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.]
二、填空题
6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．
x－y－3＝0 [由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1.故所求直线方程为x－y－3＝0.]
7．已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________．
2 [由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，∴c＝－2－2a，
∴＝，解得a＝2.]
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．
[设圆心为(2，b)，则半径r＝.又＝，解得b＝1，r＝.]
三、解答题
9．求过直线2x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且分别满足下列条件的圆的方程．
(1)过原点；
(2)有最小面积．
[解] 设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①
(1)因为所求的圆过原点，所以1＋4λ＝0，即λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)当半径长最小时，圆面积也最小．把方程①化为标准形式，得[x＋(1＋λ)]2＋＝＋，
所以当λ＝时r2＝＋取得最小值rmin＝.
所以所求圆的方程为＋＝.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值．
[解] (1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3，4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4，3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4，3)点在圆内．
故直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)因为直线经过定点P(4，3)，
所以当PC与直线l垂直时，圆被直线截得的弦最短，
设直线与圆的交点为A，B，
则由勾股定理得＝r2－|CP|2＝4－2＝2，
所以AB＝2，
又因为PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，
直线PC的斜率为kPC＝＝－1，
所以直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.
所以当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2.
[等级过关练]
1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B．1
C. D.
D [圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即l＝2＝.]
2．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C [圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.
可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．]
3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．
(4，6) [由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1<r<d＋1，∴4<r<6.]
4．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PABC面积的最小值是________．
2 [当CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，切线长最短，四边形PABC的面积最小，此时：
CP＝＝＝3.
又r＝1，∴切线长为＝2，
∴S＝2××2×1＝2.]
5．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[解] (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
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