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课时分层作业(十七)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( )
A．2ax－ay＋6＝0(a≠0) B．y＝2x
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0
D [直线2x－y－3＝0的斜率为2，而D中直线斜率为－2，其余选项斜率均为2.]
2．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4，1) B．(1，4)
C. D.
C [由方程组得]
3．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( )
A．6 B．－24
C．±6 D．以上都不对
C [分别令x＝0，求得两直线与y轴相交于－和－，由题意得 －＝－，解得m＝±6.]
4．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一的解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
B [由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行 ，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解．]
5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
A [由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组 解得即N点坐标为(2，3)．]
二、填空题
6．若三条直线x＋y＋4＝0，x－y＋1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b的值是__________．
－ [联立解得将点代入x＋by＝0，解得b＝－.]
7．直线l过直线2x－y＋4＝0与x－3y＋5＝0的交点，且垂直于直线y＝x，则直线l的方程是________．
10x＋5y＋8＝0 [由解得交点坐标为，故直线l过点，斜率为－2，所以直线l的方程为y－＝－2，即为10x＋5y＋8＝0.]
8．直线(a＋2)y＋(1－a)x－3＝0与直线(a＋2)y＋(2a＋3)x＋2＝0不相交，则a＝________．
－2或－ [要使两直线不相交，则它们平行，当a＋2＝0时，即a＝－2，两直线为x＝1，x＝2，此时两直线平行，符合题意．
当a＋2≠0时，－＝－，解得a＝－.
所以a＝－2或a＝－.]
三、解答题
9．当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，求使四边形的面积最小时的a值．
[解]
如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0.
∴过定点B(2，2)．
直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，
由2x－4＝0和y－2＝0，得l2也过定点B(2，2)．
∵l1与y轴交于点A(0，2－a)，
l2与x轴交于点C(a2＋2，0)．
∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2
＝a2－a＋4＝＋.
∴当a＝时，S取最小值.
即四边形OABC的面积最小时，a的值为.
10．已知过原点的直线l与两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0交点的横坐标分别为xA，xB，且xA＋xB＝0，求直线l的方程．
[解] 若l的斜率不存在，则l的方程为x＝0，
∴xA＝xB＝0，满足xA＋xB＝0的要求，
∴l的方程可以是x＝0.
若l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＝kx.
由得xA＝－；
由得xB＝.
由xA＋xB＝0⇒－＋＝0⇒k＝－.
∴l的方程为y＝－x，即x＋6y＝0.
∴l的方程为x＝0或x＋6y＝0.
[等级过关练]
1．直线l经过点(1，1)，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x－3y＋1＝0 B．3x－2y－1＝0
C．3x＋2y＋1＝0 D．2x＋3y－1＝0
B [法一：解得，∴两直线交点为(－1，－2)．由两点式方程，得直线l的方程为＝，即3x－2y－1＝0.
法二：∵直线l经过两直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，
∴直线l的方程可设为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，
把点(1，1)的坐标代入，得2＋3＋8＋λ(1－1－1)＝0，解得λ＝13，
∴直线l的方程为2x＋3y＋8＋13(x－y－1)＝0即3x－2y－1＝0.]
2．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是( )
A．k>－ B．k<2
C．－<k<2 D．k<－或k>2
C [联立方程①＋②，整理得(k＋2)x＝2－k，易知k≠－2，则x＝，代入②，得y＝，即l1，l2的交点坐标为.因为直线l1，l2的交点在第一象限内，所以解得－<k<2.]
3．三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝__________．
－1或 [由于直线l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋3y－1＝0有一交点，要使三条直线有两个不同的交点，则必使l3：ax＋2y－3＝0与l1平行或与l2平行．所以a＝－1或a＝.]
4．直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
x－y－4＝0或x＋y－24＝0 [解方程组得两直线交点坐标为(14，10)．又由三角形为等腰直角三角形知所求直线斜率k＝±1，即可写出所求的直线方程．]
5．已知△ABC中，顶点A(0，1)，AB边上的高线CD所在直线的方程是x＋2y－4＝0，AC边上的中线BM所在直线的方程为2x＋y－3＝0，求△ABC的顶点B，C及垂心H的坐标．
[解] ∵AB边上的高线CD的方程为x＋2y－4＝0，
∴kCD＝－，kAB＝2，
直线AB的方程为y＝2x＋1，
由得
即B.
设C(m，n)，则由已知条件得
得
∴C(2，1)．
∴BC边所在直线的方程为＝，
即2x＋3y－7＝0，
∴BC上的高线AE所在直线的方程为
y＝x＋1，
即3x－2y＋2＝0，
由得H.
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