2022-2022学年高中数学课时跟踪检测十八两条直线的交点苏教版必修.doc

课时跟踪检测〔十八〕 两条直线的交点
层级一　学业水平达标
1．直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点坐标是(　　)
A．(2,2)　　　　　　　 B．(2，－2)
C．(－2,2) D．(－2，－2)
解析：选C　联立解得
∴直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点坐标是(－2,2)．应选C.
2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是(　　)
A．24 B．－12
C．－24 D．12
解析：选C　在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝；
在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.
由题意知＝－12，故m＝－24.
3．两条直线2x＋3y－k＝0和x＋ky－12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　)
A．－24 B．6
C．±6 D．24
解析：选C　由解得x＝.
∵两直线的交点在y轴上，
∴x＝0,36－k2＝0,3－2k≠0，即k＝±6.
4．假设非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，那么定点坐标为(　　)
A． B．(1,3)
C．(－3，－2) D．
解析：选A　∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，
∴＝＋.∵＋＝1，∴＋·y＝1，
∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.
令y－3＝0，且6x＋y＝0，得x＝－，y＝3，
∴定点坐标为.
5．直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，那么实数k的取值范围是(　　)
A.
B.∪(－1，＋∞)
C.∪
D.
解析：选D　联立
解得x＝，y＝(k≠－2)．
∵直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，∴＞0，＞0，解得－＜k＜.
那么实数k的取值范围是.应选D.
6．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，那么a＝________.
解析：要使两直线不相交，那么它们平行，当a＋2＝0时，即a＝－2，两直线为y＝1，y＝2，此时两直线平行，符合题意．
当a＋2≠0时，－＝－，解得a＝－.
所以a＝－2或a＝－.
答案：－2或－
7．假设三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，那么b＝________.
解析：由解得交点坐标为(－1，－2)，
该交点在x＋by＝0上，故－1－2b＝0，解得b＝－.
答案：－
8．假设直线y＝x与直线y＝x－5的交点在直线y＝kx＋3上，那么k＝________.
解析：由解得x＝y＝，
将代入y＝kx＋3，
得＝＋3，解得k＝.
答案：
9．求过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：由得即交点坐标为(1,2)．
假设直线过原点，那么直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
假设直线不过原点，设截距为a，那么方程为＋＝1.
∵点(1,2)在该直线上，∴＋＝1，
∴a＝3，那么直线方程为x＋y－3＝0.
综上所述，所求直线的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0.
10．求证：不管m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，并求出此定点的坐标．
证明：法一：将直线l方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5整理为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，该方程表示过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0交点的直线，
由得交点(9，－4)，
∴直线l过定点(9，－4)．
法二：令m＝1得y＝－4，m＝得x＝9，两直线y＝－4和x＝9交点为(9，－4)，将(9，－4)代入直线方程得9m－9－8m＋4＝m－5恒成立，所以直线l过定点(9，－4)．
层级二　应试能力达标
1．直线l1的方程为x＋Ay＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，假设l1，l2的交点在x轴上，那么C的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C．±2 D．与A有关
解析：选A　在2x－3y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2，即直线2x－3y＋4＝0与x轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x＋Ay＋C＝0上，∴－2＋A×0＋C＝0，∴C＝2.
2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　由方程组得两直线的交点坐标为.因为0＜k＜，所以＜0，＞0，所以交点在第二象限．
3．m∈R，那么直线(2m＋1)x＋(2－m)y＋5m＝0必经过定点(　　 )
A．(2,1) B．(－2,1)
C．(2，－1) D．(－1，－2)
解析：选B　直线方程可化为(x＋2y)＋m(2x－y＋5)＝0，解方程组得因此直线必经过定点(－2,1)．
4．假设直线x＋y＋3m＋2＝0与x－y－5m＋6＝0的交点在第三象限，那么m的取值范围是(　　 )
A． B．
C．(4，＋∞) D．
解析：选A　由得
由得＜m＜4.
5．ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，那么a＋b＋c＝________.
解析：由两直线垂直得－×＝－1，
∴a＝10，将交点坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.
答案：－4
6．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在x轴上，那么k的值为________．
解析：直线y＝－x＋1交x轴于点(4,0)．∵两条直线的交点在x轴上，∴直线y＝kx＋3k－2过点(4,0)．
∴0＝4k＋3k－2.∴k＝.
答案：
7．求经过两条直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程．
解：法一：由解得
由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为＋＝1.
所以即或
解得或
所以所求的直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
法二：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×≠，
所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.
故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.
由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.
所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为··＝，
所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.
解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；
当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.
故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
8．△ABC中，顶点A(0,1)，AB边上的高线CD所在直线的方程是x＋y－2＝0，AC边上的中线BM所在直线的方程为3x＋y－5＝0，求△ABC的顶点B，C及垂心H的坐标．
解：直线AB过(0,1)，且和直线CD：x＋y－2＝0垂直，那么AB的方程为x－y＋1＝0，
解方程组得B(1,2)．
设C(t,2－t)，那么AC的中点在BM上，且AC中点为，代入3x＋y－5＝0得t＝，
故C.
由A(0,1)，C得AC边上的高线方程的斜率
为，又AC边上的高线过点B(1,2)，
代入得方程为7x－5y＋3＝0.
H的坐标可由方程组
得H.
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