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课时分层作业(十七) 基本不等式的证明
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s<t
A [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
D [a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由基本不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是( )
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
D [由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
B [a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
D [由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≤2得ab≤4，
∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，
∴≤，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤ [∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36 [f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，
∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明] 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明] ＋＝＋
＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
[能力提升练]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
B [A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，＝－，
当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，
又≥2，∴a2＋b2≥2.]
3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．
2 [xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]
4．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式的个数是________．
2 [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴≥，≥，≥，
∴＋＋≥＋＋，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.
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