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课时分层作业(十八) 基本不等式
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( )
A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．]
2．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m<n
C．m＝n D．不确定
A [因为a>2，所以a－2>0．
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．
即m∈[4，＋∞]，由b≠0得b2≠0，
所以2－b2<2．所以22－b2<4，即n<4．
所以n∈(0,4)，综上易知m>n．]
3．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
D [若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则<，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．]
4．某厂产值第二年比第一年增长p%，第三年比第二年增长q%，又这两年的平均增长率为s%，则s与的大小关系是( )
A．s＝ B．s≤
C．s> D．s≥
B [由已知得(1＋s%)2
＝(1＋p%)(1＋q%)
≤
＝，
于是1＋s%≤1＋．
故s≤．]
5．设M＝，N＝()x＋y，P＝3(x，y>0，且x≠y)，则M，N，P大小关系为( )
A．M<N<P B．N<P<M
C．P<M<N D．P<N<M
D [由基本不等式可知≥＝()x＋y＝3≥3，因为x≠y，所以等号不成立，故P<N<M．]
二、填空题
6．若a<1，则a＋与－1的大小关系是 ．
a＋≤－1 [因为a<1，即a－1<0，
所以－＝(1－a)＋
≥2＝2．
即a＋≤－1．]
7．已知a>b>c，则与的大小关系是 ．
≤ [因为a>b>c，
所以a－b>0，b－c>0．
≤＝．当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤．]
8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
≤ [因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，
又a>0，所以a>1，
因为t>0，所以≥，
所以loga≥loga＝logat．]
三、解答题
9．已知x，y，z是互不相等的正数，求证：x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2．
[证明] x＋＋y＋＋z＋
＝x＋＋y＋＋z＋
≥2＋2＋2＝6，
又x，y，z互不相等，
则x＋＋y＋＋z＋>6，
所以，x＋，y＋，z＋至少有一个大于2．
10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1．
求证：＋＋<＋＋．
[证明] 因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得
2≥2(＋＋)，
又因为a，b，c不全相等的正实数，所以＋＋<＋＋．
1．设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
C [∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
故f＞f()，即q＞p．
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p．故p＝r＜q．选C．]
2．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋
＝－≤－2＝－2．
其中正确的推导为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
D [①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，
故②的推导过程是错误的．
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．]
3．若0<a<b，且a＋b＝1，则a，，2ab，a2＋b2中最大的是 ．
a2＋b2 [因为0<a<b，且a＋b＝1，所以a<，a2＋b2>＝，2ab＝2a(1－a)＝－2(a－)2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的是a2＋b2．]
4．已知函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是 ．
C≥B≥A [≤≤≤，又∵f(x)＝为减函数，
∴f≥f()≥f，即C≥B≥A．]
5．设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋ay)＜＋loga2．
[证明] ∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2，
又∵0＜a＜1，
∴loga(ax＋ay)≤loga2
＝logaax＋y＋loga2＝(x＋y)＋loga2．
∵y＋x2＝0，∴loga(ax＋ay)≤(x－x2)＋loga2＝－＋＋loga2≤＋loga2，
又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证．
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