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课时分层作业(十八) 基本不等式的应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．2 B．a C. D．3
D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.]
2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
C [∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]
3．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．－3 C．3－2 D．－1
C [∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2.当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C [x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9.]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25 C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2
＝2＝2＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
[答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解] y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵x<时，∴3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．
[能力提升练]
1．若－4<x<1，则f(x)＝( )
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
D [f(x)＝＝，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.
故f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
D [∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.]
3．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
[1＝x＋4y≥2＝4，
∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立．]
4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1.∴(x＋y)2≤1.
∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
[解] 设＋＝1，a，b∈N*，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
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