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课时分层作业(十三) 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立 ”时，n0应取值为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
[解析] 12<21,22＝22,32>23,42＝24,52<25，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为 5.
[答案] C
2．对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1, 不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，
则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
[答案] D
3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述记录，可推测出一般结论( )
A．f(2n)> B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
[解析] ∵f(2)＝；f(4)>2，即f(22)>；f(8)>，即f(23)>；f(16)>3，即f(24)>；f(32)>，即f(25)>.故猜想f(2n)>.
[答案] C
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k＜5，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4，均有f(k)≥k2成立
[解析] 由题意，设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”
因此，对于A，不一定有k＝1,2时成立．
对于B，C显然错误．
对于D，∵f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，
有f(k)≥k2成立．
[答案] D
5．对于正整数n，下列说法不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n＜1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
[解析] 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．
当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．
[答案] C
二、填空题
6．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出________．
[答案] 1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)
7．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
[解析] ∵f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
[答案] f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
8．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．
[解析] 由a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，得a2＝，
a3＝，a4＝.由1×3,3×5,5×7,7×9，…，可得an＝＝.
[答案] an＝
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
[解] (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N＋)．
[证明] 由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)．
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥2k－1.
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，
∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
[解析] 1＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
[答案] D
2．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
[解析] 令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的．
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意＞，∴m＜14.
因此取m＝13.
[答案] B
3．设a，b均为正数，n为正整数，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________________________________
.
[解析] 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx，
令x＝，
∴＞1＋n·，
∴＞1＋n·，即(a＋b)n＞an＋nan－1b.
故M≥N.
[答案] M≥N
4．求证：当n≥1(n∈N＋)时，(1＋2＋…＋n)1＋＋＋…＋≥n2.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．
当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥2)时，命题成立，
即(1＋2＋…＋k)≥k2，
则当n＝k＋1时，有
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]1＋＋…＋＋
＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·
＋(k＋1)×＋1
≥k2＋＋1＋(k＋1).
∴当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*)
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×
＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，当n≥1(n∈N＋)时原命题成立．
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