2022-2022学年高中数学课时分层作业4正弦定理余弦定理的应用含解析苏教版必修.doc

课时分层作业(四)正弦定理、余弦定理的应用(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 mB8 mC3 m D4 mD由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4.2如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，则A，B间距离是()A20米 B20米C20米 D40米C可得DBDC40，由正弦定理得AD20(1)，ADB60，所以在ADB中，由余弦定理得AB20(米)3在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 m C40 m D60 mC如图，设O为顶端在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20，在RtAOD中，OAODtan 6060，ABOAOB40(m)4如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是()A30B45 C60D75BAD26022024 000，AC26023024 500，在ACD中，由余弦定理得cosCAD，CAD(0，180)，CAD45.5如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，则建筑物的高度为()A15 m B20 mC25 m D30 mD设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m二、填空题6若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角的余弦值为_如图，由平行四边形法则可知，|G，在AOB中，由余弦定理可得|2F2F22FFcos()|G，2F2(1cos )G2，cos .7如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于_ m.120(1)由题意可知，AC120.BAC753045，ABC1804530105，所以sin ABCsin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45.在ABC中，由正弦定理得，于是BC120(1)(m)8.如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD，BD21892333，BD.三、解答题9如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45和北偏东30方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15和北偏西60方向，求目标C，D之间的距离解由题意得，在ABD中，因为DAB60，DBA30，所以ADB90，在RtABD中，因为AB300，所以BD300sin 60150，在ABC中，因为CAB45，ABC75，所以ACB60.由正弦定理得，所以BC100，在BCD中，因为BC100，BD150，CBD45，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD37 500，所以CD50.所以目标C，D之间的距离为50米10如图，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B，求BC边上的高AD.解在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，由正弦定理，得，sin C，C60(C120舍去，否则由8x7x，知B也为钝角，不符合要求)由余弦定理，得(7x)2(8x)215228x15cos 60，x28x150.x3或x5，AB21或AB35.在ABC中，ADABsin BAB，AD12或AD20.能力提升练1甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.分钟 B.分钟C21.5分钟 D2.15小时A如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t100282.当t时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为60分钟2如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 mD设ABx，在RtABC中，ACB45，BCABx.在RtABD中，ADB30，BDx.在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022500xcos 120，解得x500 m3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_m.50连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，OC50.4台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为_小时1设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcos A，即302x24022x40cos 45，化简得x240x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即图中的CD20(千米)，故t1(小时)5如图，在ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos B，cos ADC.(1)求sin BAD的值；(2)求AC边的长解(1)因为cos B，所以sin B.又cos ADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得，即，解得BD2.故DC2，从而在ADC中，由余弦定理，得AC2AD2DC22ADDCcosADC322223216，所以AC4.