2022-2022学年高中数学课时分层作业13等比数列前n项和的性质及应用含解析苏教版必修.doc

课时分层作业(十三)　等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D．16
C　[由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4(a1q)＝4a1＋a1·q2，
∴q＝2，∴S4＝＝15.]
2．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于(　　)
A. B．1 C．2 D．4
C　[S3＝1，S6＝9，
∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.]
3．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
B　[显然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2.
由an＝a1qn－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5.
故选B.]
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240
C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，
故选C.]
5．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　)
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
C　[由题知S1正确．
若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65.
若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12，得q＝，a3＝18，a4＝27，S4＝65，满足题设，故选C.]
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
－1　[由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.]
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2　[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.]
8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
(10n－1)＋n2　[数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.]
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
[解]　∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2 101.
[能力提升练]
1．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1　　　　　　 B.
C. D.
A　[由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.]
2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为(　　)
A．1 673 B．1 675
C. D.
D　[因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为
＝＝.]
3．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝________.
2n＋1－n－2　[因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
4．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.
(－1)n－1×　[设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×－n－1＝(－1)n－1×.]
5．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
[解]　(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由得
∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋
＝2×－n＋
＝n2＋.
即数列{cn}的前n项和为n2＋.