2022-2022学年高中数学课时分层作业10等比数列的概念及通项公式含解析苏教版必修.doc

课时分层作业(十)　等比数列的概念及通项公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是(　　)
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A　[由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，
即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．等比数列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　)
A．3×10－5　　　　　　　B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
D　[设公比为q，则＋12q＝30，
∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
∴a10＝a3·q7＝12·27或12·7，
即3×29或3×2－5.]
3．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　)
A．6 B．－6
C．±6 D．±12
C　[a＝＝，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.]
4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的(　　)
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
B　[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为.
∴由－4×n－1＝－13，解得n＝4.]
5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
B　[根据题意，代入公式
解得：或]
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.
1　[设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4，
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.]
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.
27　[由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
[解]　(1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a5＝3，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－n－2.
(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×n－1＝n－1.
[能力提升练]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A.＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
C　[设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3,2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.]
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.]
3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
4．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64　[设等比数列{an}的公比为q，
∴⇒解得
∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)
＝n(n－7)
＝，当n＝3或4时，
取到最小值－6，
此时取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.]
5．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p.
[解]　因为数列{cn＋1－pcn}为等比数列，
所以(cn＋1－pcn)2＝(cn－pcn－1)(cn＋2－pcn＋1)，
将cn＝2n＋3n代入上式得，
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－1)]，
整理得(2－p)(3－p)·2n·3n＝0，
解得p＝2或p＝3.