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考点规范练19 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
考点规范练A册第14页
基础巩固组
1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么( )
A.T=2,θ= B.T=1,θ=π
C.T=2,θ=π D.T=1,θ=
答案:A
解析:T==2,当x=2时,由π×2+θ=+2kπ(k∈Z),
得θ=-+2kπ(k∈Z).
又0<θ<2π,∴θ=.
2.(2015合肥二模)为了得到函数y=cos的图像,可将函数y=sin 2x的图像( )
A.向左平移单位长度
B.向右平移单位长度
C.向左平移单位长度
D.向右平移单位长度
答案:C
解析:由题意,得y=cos=sin
=sin 2,
则它是由y=sin 2x向左平移个单位得到的,故选C.
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10〚导学号32470451〛
答案:C
解析:因为sin∈[-1,1],
所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
4.将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间上是减少的
B.在区间上是增加的
C.在区间上是减少的
D.在区间上是增加的
答案:B
解析:设平移后的函数为f(x),则f(x)=3sin=3sin=-3sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得f(x)的递减区间为,k∈Z,同理得递增区间为,k∈Z.从而可判断B正确.
5.(2015沈阳质检)已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈,则x0=( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:由题意可知f(x)=2sin,其对称中心为(x0,0),故2x0+=kπ(k∈Z),
∴x0=-(k∈Z),
又x0∈,∴k=1,x0=,故选C.
6.如果把函数y=sin图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将图像向右平移个单位长度,那么所得图像的一条对称轴方程为( )
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
答案:A
解析:将y=sin图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin;再将图像向右平移个单位,得到函数y=sin=sin=-cos 2x,由y=-cos 2x的对称轴为2x=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z.
7.(2015山西四校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为( )
A. B.
C. D.〚导学号32470452〛
答案:B
解析:根据所给图像,周期T=4×=π,故π=,
∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图像经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,
∴f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.
8.已知函数y=g(x)的图像由f(x)=sin 2x的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图像如图所示,则φ= .
答案:
解析:函数f(x)=sin 2x的图像在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图像可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.
9.设函数f(x)=sin,则下列命题:
①f(x)的图像关于直线x=对称;
②f(x)的图像关于点对称;
③f(x)的最小正周期为π,且在区间上为增函数;
④把f(x)的图像向右平移个单位长度,得到一个奇函数的图像.
其中正确的命题的序号为 .〚导学号32470453〛
答案:③④
解析:对于①,f=sin=sin,不是最值,因此x=不是函数f(x)的图像的对称轴,故该命题错误;
对于②,f=sin=1≠0,因此点不是函数f(x)的图像的对称中心,故该命题错误;
对于③,函数f(x)的周期为T==π,当x∈时,令t=2x+,显然函数y=sin t在区间上为增函数,因此函数f(x)在区间上为增函数,故该命题正确;
对于④,把f(x)的图像向右平移个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin=sin 2x,是奇函数,故该命题正确.
10.已知函数y=3sin.
(1)用五点法作出函数的图像;
(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的.
解:(1)列表:
x
π
π
π
π
x-
0
π
π
2π
3sin
0
3
0
-3
0
描点、连线,如图所示:
(2)方法一:“先平移,后伸缩”.
先把y=sin x的图像上所有点向右平移个单位,得到y=sin的图像;再把y=sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
方法二:“先伸缩,后平移”
先把y=sin x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图像;再把y=sinx图像上所有的点向右平移个单位,得到y=sin=sin的图像,最后将y=sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.
11.(2015安徽,文16)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解:(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x
=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)的计算结果知,
f(x)=sin+1.
当x∈时,2x+,
由正弦函数y=sin x在上的图像知,
当2x+,即x=时,f(x)取最大值+1;
当2x+,即x=时,f(x)取最小值0.
综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.
能力提升组
12.(2015东北三校联考)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( )
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2〚导学号32470454〛
答案:D
解析:由函数y=Asin(ωx+φ)+b的最大值为4,最小值为0,可知b=2,A=2.由函数的最小正周期为,可知,得ω=4.由直线x=是其图像的一条对称轴,可知4×+φ=kπ+,k∈Z,从而φ=kπ-,k∈Z,
故满足题意的是y=2sin+2.
13.(2015山东青岛一模)函数f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )
A.1 B. C. D.
答案:D
解析:观察图像可知,A=1,T=π,
∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).
将代入上式得sin=0,
由|φ|<,得φ=,
则f(x)=sin,函数图像的对称轴为
x=.
又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
∴,∴x1+x2=,
∴f(x1+x2)=sin.故选D.
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(-2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(-2)
C.f(-2)<f(0)<f(2)
D.f(2)<f(0)<f(-2)〚导学号32470455〛
答案:A
解析:由周期T==π,得ω=2.当x=时,f(x)取得最小值,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以f(x)=Asin.所以f(0)=Asin>0,f(2)=AsinAsin 4+cos 4<0,f(-2)=Asin=-Asin 4+cos 4.
因为f(2)-f(-2)=Asin 4<0,
所以f(2)<f(-2).
又f(-2)-f(0)=-Asin
=-A,
因为π<4-<π+π,
所以sin>sin=-,
即sin>0,
所以f(-2)<f(0).
综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.
15.(2015天津,文14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内是增加的,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
答案:
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,由2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z),
而f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,
所以
解得
因为ω2>0,所以只能取k=0,这时有0<ω2≤.①
又因为函数f(x)的图像关于直线x=ω对称,
所以ω2+=kπ+(k∈Z),即ω2=kπ+(k∈Z).②
由①②知ω2=.故ω=.
16.(2015重庆,文18)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像.当x∈时,求g(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin 2x-cos2x=sin 2x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin,
因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-.
(2)由条件可知:g(x)=sin.
当x∈时,有x-,从而sin的值域为,那么sin的值域为.
故g(x)在区间上的值域是.
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