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考点规范练18 三角函数的图像与性质
考点规范练B册第11页
基础巩固组
1.函数y=|2sin x|的最小正周期为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
答案:A
解析:由图像知T=π.
2.(2015石家庄一模)函数f(x)=tan的递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)〚导学号32470746〛
答案:B
解析:由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)得,<x<(k∈Z),所以函数f(x)=tan的递增区间为(k∈Z),故选B.
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于( )
A.2或0 B.-2或2
C.0 D.-2或0
答案:B
解析:由f=f知,函数图像关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.
4.(2015湖北黄州联考)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cos B-sin A,sin B-cos A)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析:∵△ABC是锐角三角形,则A+B>,
∴A>-B>0,B>-A>0,
∴sin A>sin=cos B,sin B>sin=cos A,
∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0,
∴点P在第二象限.
5.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A. B. C. D.〚导学号32470747〛
答案:A
解析:=2,即ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),
∴f=sin=±1.
∵0<φ<π,∴<φ+,
∴φ+,∴φ=.
6.已知函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不可能是( )
A. B.
C.π D.
答案:A
解析:画出函数y=sin x的草图分析,知b-a的取值范围为.
7.设ω>0,m>0,若函数f(x)=msincos在区间上单调递增,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.[1,+∞)
答案:B
解析:f(x)=msincosmsin ωx,
若函数在区间上递增,则,即ω∈.
8.(2014云南统一检测)已知函数f(x)=cos23x-,则f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:因为f(x)=cos 6x,所以最小正周期T=,相邻两条对称轴之间的距离为,故选C.
9.若函数y=2sin(3x+φ)的一条对称轴为x=,则φ= .
答案:
解析:因为y=sin x的对称轴为x=kπ+(k∈Z),
所以3×+φ=kπ+(k∈Z),
得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,
所以k=0,故φ=.
10.(2015湖北,文13)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为 .
答案:2
解析:f(x)=2sin xsin-x2
=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.
如图所示,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图像,
当x≥0时,两图像有2个交点,
当x<0时,两图像无交点,
综上,两图像有2个交点,即函数的零点个数为2.
11.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是 .
答案:
解析:由题意cos=sin,
即sin+φ=kπ+(-1)k·(k∈Z).
因为0≤φ<π,所以φ=.
12.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω= .〚导学号32470748〛
答案:
解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图像.A,B为符合条件的两交点.
则A,B,由|AB|=2,
得=2,解得=2,即ω=.
能力提升组
13.(2015福建,文12)“对任意x∈,ksin xcos x<x”是“k<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:当x∈时,sin x<x,且0<cos x<1,
∴sin xcos x<x.
∴k<1时有ksin xcos x<x.
反之不成立.
如当k=1时,对任意的x∈,sin x<x,0<cos x<1,
所以ksin xcos x=sin xcos x<x成立,
这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.
14.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
答案:B
解析:∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2,此时ωx=2kπ-,k∈Z,
∴x=,k∈Z,
∴-≤0,k∈Z,
∴ω≥-6k+且k≤,k∈Z,
∴ωmin=.
15.(2015豫北六校联考)若函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点成中心对称,且-<φ<,则函数y=f为( )
A.奇函数且在上是增加的
B.偶函数且在上是增加的
C.偶函数且在上是减少的
D.奇函数且在上是减少的〚导学号32470749〛
答案:D
解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点成中心对称,则+φ=kπ+,k∈Z.即φ=kπ-,k∈Z,又-<φ<,则φ=-,则y=f=cos=cos=-sin 2x,所以该函数为奇函数且在上单调递减,故选D.
16.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图像的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是 .
答案:
解析:由两个三角函数的图像的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin.
当x∈时,-≤2x-,
解得-≤sin≤1,故f(x)∈.
17.已知函数f(x)=sin,其中x∈.当a=时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是,则a的取值范围是 .〚导学号32470750〛
答案:
解析:若-≤x≤,则-≤2x+,此时-≤sin≤1,即f(x)的值域是.
若-≤x≤a,则-≤2x≤2a,-≤2x+≤2a+.因为当2x+=-或2x+时,sin=-,所以要使f(x)的值域是,则≤2a+,即≤2a≤π,
所以≤a≤,即a的取值范围是.
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