2022年高考一模数学(理科)试卷.docx

河南省南阳、信阳等六市2017年高考一模数学（理科）试卷
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合,,则的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足,则复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
3．设直线,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是（ ）
A．若,,,则 B．若,,,则
C．若,,,则 D．若,,,则
4．给出下列四个结论：
①已知服从正态分布,且,则；
②若命题,则；
③已知直线,,则的充要条件是.
其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．在中,,则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图（图中“”表示除以的余数）,若输入的,分别为495,135,则输出的（ ）

A．0 B．5 C．45 D．90
7．已知,其中实数,满足,且的最大值是最小值的倍,则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的偶函数,且恒成立,当时,,则当时,函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若函数在区间和上均单调递增,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是双曲线的上、下焦点,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是（ ）

A． B． C． D．
12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题：
①对于任意一个圆,其“优美函数“有无数个”；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.
其中正确的命题是（ ）

A．①③ B．①③④ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）
13．已知向量,,若,则________.
14．的展开式中,的系数为________.
15．在中,角,,的对边分别为,,,且,若的面积为,则的最小值为________.
16．椭圆的上、下顶点分别为、,点在上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是________.
三、解答题（本题必作题5小题,共60分；选作题2小题,考生任作一题,共10分.）
17．观察下列三角形数表：

假设第行的第二个数为,
（1）归纳出与的关系式,并求出的通项公式；
（2）设,求证：.
18．如图所示的几何体中,为三棱柱,且,四边形为平行四边形,,.
（1）若,求证：；
（2）若,,二面角的余弦值为,求三棱锥的体积.

19．为了对2016年某校中考成绩进行分析,在60分以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.
（1）若规定85分以上为优秀,求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学分数
60
65
70
75
80
85
90
95
物理分数
72
77
80
84
88
90
93
95
化学分数
67
72
76
80
84
87
90
92
①用变量与、与的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求与、与的线性回归方程（系数精确到）,当某同学的数学成绩为分时,估计其物理、化学两科的得分.
参考公式：相关系数,
回归直线方程是：,其中,,
参考数据：

20．如图,抛物线的焦点为,抛物线上一定点.
（1）求抛物线的方程及准线的方程；
（2）过焦点的直线（不经过点）与抛物线交于,两点,与准线交于点,记,,的斜率分别为,,,问是否存在常数,使得成立？若存在,求出的值；若不存在,说明理由.

21．已知函数,且函数的图象在点处的切线与直线垂直.
（Ⅰ）求,；
（Ⅱ）求证：当时,.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
[选修：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）若以点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）将曲线上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移个单位,得到曲线,求曲线上的点到直线的距离的最小值.
23．[选修：不等式选讲]
设.
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
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