高优指导2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形21三角恒等变换考点规范练文北师大版.doc

考点规范练21　三角恒等变换
　考点规范练A册第16页　 
基础巩固组
1.函数y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是(　　)

A.奇函数且在上是增加的
B.奇函数且在上是增加的
C.偶函数且在上是增加的
D.偶函数且在上是增加的
答案:C
解析:y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,
故函数是偶函数,且在上单调递增.
2.(2015河南周口高三检测)函数f(x)=cos2x+sin xcos x在区间上的最大值为(　　)
A.1 B. C. D.2
答案:C
解析:f(x)=(1+cos 2x)+sin 2x=sin,
∵x∈,∴2x∈,2x+,故f(x)的最大值为.
3.(2015河北唐山一模)已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)
A. B.- C.或0 D.-或0
答案:C
解析:因为2sin 2α=1+cos 2α,
所以2sin 2α=2cos2α.
所以2cos α(2sin α-cos α)=0,解得cos α=0或tan α=.
若cos α=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,
所以tan 2α=0.
若tan α=,则tan 2α=.
综上所述,故选C.
4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为(　　)
A.π,[0,π] B.2π,
C.π, D.2π,
答案:C
解析:由f(x)=sin2x+sin xcos x=sin 2x
=sin,
则T==π.
又∵2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.
5.已知cos·cos,则sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470456〛
答案:C
解析:由coscos,
解得sincos,sin,
即cos 2θ=.
sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θ·cos2θ=1-2×=1-2×.
6.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)
A. B.- C.- D.-
答案:C
解析:=2cos α,
由tan=-,得=-,
解得tan α=-3.
因为<α<π,所以cos α=-.
所以原式=2cos α=2=-.
7.若f(x)=2tan x-,则f的值为(　　)
A.- B.8 C.4 D.-4
答案:B
解析:f(x)=2tan x+=2tan x+,
∴f=8.
8.已知sin,则cos=　　　　　. 
答案:-
解析:由sin,
得cos 2=1-2sin2,即cos,
则cos=cos=-.
9.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则常数a=　　　　　. 
答案:±
解析:f(x)=+sin x+a2sin
=cos x+sin x+a2sin
=sin+a2sin
=(+a2)sin.
依题意有+a2=+3,则a=±.
10.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及递增区间.
解:(方法一)(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.
所以f(α)=.
(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+
=sin 2x+cos 2x=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(方法二)f(x)=sin xcos x+cos2x-
=sin 2x+
=sin 2x+cos 2x=sin.
(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,
从而f(α)=sinsin.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
11.已知函数f(x)=cos x·sincos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解:(1)由已知,有f(x)=cos x·cos2x+sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-(1+cos 2x)+
=sin 2x-cos 2x
=sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,
f=-,f=-,f,
所以,函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.〚导学号32470457〛
能力提升组
12.(2015兰州检测)在斜三角形ABC中,sin A=-cos Bcos C,且tan B·tan C=1-,则角A的值为(　　)
A. B. C. D.〚导学号32470458〛
答案:A
解析:由题意知,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=-cos Bcos C,等式两边同除以cos Bcos C得tan B+tan C=-,又tan(B+C)==-1=-tan A,即tan A=1,所以A=.
13.(2015广东中山一模)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于(　　)
A.- B. C.- D.〚导学号32470459〛
答案:D
解析:∵α∈,∴2α∈(0,π).
∵cos α=,
∴cos 2α=2cos2α-1=-,
∴sin 2α=,
而α,β∈,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=,
∴cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]
=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
=.
14.已知函数f(x)=sin+sin-2cos2(x∈R,ω>0),则f(x)的值域为　　　　　. 
答案:[-3,1]
解析:f(x)=sin+sin-2cos2=2sin ωxcos-2cos2sin ωx-cos ωx-1=2sin-1,
又sin∈[-1,1],
∴f(x)的值域为[-3,1].
15.已知函数f(x)=2-(sin x-cos x)2,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)在区间上的最大值为　　　　　.〚导学号32470460〛 
答案:π　2
解析:因为f(x)=2-(sin x-cos x)2
=2-(3sin2x+cos2x-2sin xcos x)
=2-(1+2sin2x-sin 2x)=1-2sin2x+sin 2x
=cos 2x+sin 2x=2sin,
所以f(x)的周期为T==π.
当x∈时,2x∈,2x+,
当x=时,函数取得最大值f=2.
16.已知f(x)=sin2x-2sin·sin.
(1)若tan α=2,求f(α)的值;
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin·cossin 2x+sin
=(sin 2x-cos 2x)+cos 2x
=(sin 2x+cos 2x)+.
由tan α=2,得sin 2α=.
cos 2α==-.
所以f(α)=(sin 2α+cos 2α)+.
(2)由(1)得f(x)=(sin 2x+cos 2x)+
=sin.
由x∈,得2x+.
所以-≤sin≤1,
所以0≤f(x)≤,
所以f(x)的取值范围是.〚导学号32470461〛

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