高优指导2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形单元质检B文北师大版.doc

单元质检四　三角函数、解三角形(B)
(时间:45分钟　满分:100分)
　单元质检卷第9页　 
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=(　　)

A.- B.- C. D.
答案:B
解析:由题意知tan θ=2,故cos 2θ==-.
2.(2014课标全国Ⅰ,文7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
答案:A
解析:由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为=π;由函数y=|cos x|的图像易知其周期为π;函数y=cos的周期为=π;函数y=tan的周期为,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A.
3.(2015合肥检测)函数f(x)=sin 2x+cos 2x图像的一条对称轴方程是(　　)
A.x=- B.x= C.x= D.x=
答案:D
解析:依题意得f(x)=2sin,
且f=2sin=-2,
因此其图像关于直线x=对称,故选D.
4.已知函数f(x)=cos ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin的图像,只要将y=f(x)的图像(　　)
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
答案:B
解析:依题意得=π,ω=2,f(x)=cos 2x,
g(x)=sin=cos
=cos=cos,
因此只需将y=f(x)=cos 2x的图像向右平移个单位长度.
5.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=(　　)
A. B. C. D.
答案:B
解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b,
则a=b,代入b+c=2a中,得c=b.
由余弦定理,得cos C==-,
又0<C<π,∴C=.
6.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为(　　)
A.500(+1) m B.500 m
C.500(+1) m D.1 000 m
答案:A
解析:

如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=30°,故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°-60°=150°.又∠BAD=45°-30°=15°,故∠ABD=15°,
由正弦定理,得AB=
==500()(m).
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45°=500(+1)(m).
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.如图所示,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为　　　. 
答案:8
解析:在△ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,
即142=x2+102-2·10x·cos 60°,
整理得x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理得,
∴BC=·sin 30°=8.
8.(2015天津南开模拟)当0<x<时,函数f(x)=的最小值是　　　　　.
答案:4
解析:当0<x<时,0<tan x<1,f(x)=.
设t=tan x,则0<t<1,y==4,
当且仅当t=1-t,即t=时,等号成立.
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且c=-3bcos A,tan C=.
(1)求tan B的值;
(2)若c=2,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理,得sin C=-3sin Bcos A,
即sin(A+B)=-3sin Bcos A.
所以sin Acos B+cos Asin B=-3sin Bcos A.
从而sin Acos B=-4sin Bcos A.
因为cos Acos B≠0,
所以=-4.①
又tan C=-tan(A+B)=,②
由①得tan A=-4tan B代入②整理,得,解得tan B=.
(2)由(1)得sin A=,sin B=,sin C=.
由正弦定理,得a=.
所以△ABC的面积为acsin B=×2×.
10.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图像关于直线x=对称,其中ω∈.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.
解:(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin的图像关于直线x=对称,
所以2ω×=kπ+(k∈Z),所以ω=+1(k∈Z).
因为ω∈,
所以-+1<(k∈Z),
所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,
所以f(x)=2sin.
(2)f=2sin B=,
所以sin B=,因为B为锐角,
所以0<B<,所以cos B=,
因为cos B=,
所以,
所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,
所以ac≤3,
当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,
所以△ABC面积的最大值为×3×.〚导学号32470600〛
11.(15分)(2015天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.
(1)求a和sin C的值;
(2)求cos的值.
解:(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.
由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24,
又由b-c=2,解得b=6,c=4.
由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.
由,得sin C=.
(2)cos=cos 2A·cos-sin 2A·sin(2cos2A-1)-×2sin A·cos A=.

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