高优指导2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形22解三角形考点规范练文北师大版.doc

考点规范练22　解三角形
　考点规范练B册第14页　 
基础巩固组
1.在△ABC中,a=2,c=2,A=60°,则C=(　　)

A.30° B.45°
C.45°或135° D.60°
答案:B
解析:由正弦定理,得,解得sin C=.
又c<a,所以C<60°,所以C=45°.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=(　　)
A. B. C. D.
答案:B
解析:△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=a,
cos B=.故选B.
3.(2015广州综合测试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=2B,则为(　　)
A.2sin C B.2cos B C.2sin B D.2cos C
答案:B
解析:由于C=2B,故sin C=sin 2B=2sin Bcos B,
所以=2cos B,
由正弦定理可得=2cos B,故选B.
4.(2015合肥模拟)在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为(　　)
A. B. C.2 D.2〚导学号32470755〛
答案:B
解析:因为S=×AB×ACsin A=×2×AC=,
所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,
所以BC=.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b+c=4,B=30°,则c=(　　)
A. B. C.3 D.
答案:A
解析:在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
∵a=,b+c=4,B=30°,∴cos B=,即3+4(c-b)=3c,3+c=4b,结合b+c=4,解得c=.故选A.
6.

如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案:B
解析:依题意可得AD=20 m,AC=30 m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
7.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=　　　　　. 
答案:0
解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B
=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac.
所以a2+c2+ac-b2=0.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=4,A=,则该三角形面积的最大值是　　　　　. 
答案:4
解析:a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以bc≤16,当且仅当b=c=4时,等号成立,所以S=bcsin A≤×16×sin=4.
9.

如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=　　　　　. 
答案:
解析:在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.
由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),
解得cos α=,则sin α=,所以tan α=.
10.(2015山东,文17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值.
解:在△ABC中,由cos B=,得sin B=,
因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=.
因为sin C<sin B,
所以C<B,可知C为锐角,所以cos C=.
因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=.
由,可得a==2c,
又ac=2,所以c=1.
11.

已知岛A南偏西38°方向,距岛A3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?
解:由题图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,
则BC=0.5x n mile,AC=5 n mile,
依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,
解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=,
所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5 h截住该走私船.〚导学号32470756〛
能力提升组
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足csin A=acos C,则sin A+sin B的最大值是(　　)
A.1 B. C. D.3〚导学号32470757〛
答案:C
解析:由csin A=acos C,所以sin Csin A=sin Acos C,
即sin C=cos C,所以tan C=,C=,A=-B,
所以sin A+sin B=sin+sin B=sin,
∵0<B<,∴<B+,
∴当B+,
即B=时,sin A+sin B的最大值为.故选C.
13.在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC的形状是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
答案:D
解析:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,
得b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)],
即b2sin Acos B=a2cos Asin B,
即sin2Bsin Acos B=sin2Acos Asin B,
所以sin 2B=sin 2A.
因为A,B是三角形的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π.
所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
14.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　　. 
答案:1
解析:在△ABC中,由正弦定理知,
=2cos A·=2cos A×cos A,
再根据余弦定理,得cos A=,
所以=1.
15.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=　　　　　. 
答案:
解析:如图所示,在△ABD中,由正弦定理得,

即,
所以sin∠ADB=,从而∠ADB=45°,
则∠BAD=∠DAC=15°,
所以∠ACB=30°,∠BAC=30°,
所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=.
由余弦定理得
AC=
=.
16.(2015四川,文19)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两实根.
(1)求C的大小;
(2)若AB=3,AC=,求p的值.
解:(1)由已知,方程x2+px-p+1=0的判别式
Δ=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.
所以p≤-2,或p≥.
由韦达定理,有tan A+tan B=-p,tan Atan B=1-p.
于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,
从而tan(A+B)==-=-.
所以tan C=-tan(A+B)=,所以C=60°.
(2)由正弦定理,得sin B=,
解得B=45°,或B=135°(舍去).
于是A=180°-B-C=75°.
则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)==2+.
所以p=-(tan A+tan B)=-(2++1)=-1-.〚导学号32470758〛

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