资源描述
4.4 三角函数的图像与性质
核心考点·精准研析
考点一 三角函数的定义域、值域(最值)
1.函数y=的定义域为 .
2.(2023·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为 .
3.函数f(x)=1-3sin的值域为 .
【解析】1.要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图像.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.
答案:
2.f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1=-2+,
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4
3.因为-1≤sin≤1,
所以-3≤-3sin≤3,
所以-2≤1-3sin≤4,
所以函数f(x)=1-3sin的值域为[-2,4].
答案:[-2,4]
1.求三角函数的定义域的实质
解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图像求解.
2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【秒杀绝招】
图像性质解T1,sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图像与性质知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以定义域为.
特殊值法解T2,易知f(x)≥-4,又x=0时,f(x)=-4,所以f(x)的最小值为-4.
考点二 三角函数的单调性
【典例】1.(2023·全国卷Ⅱ)假设f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数,那么a的最大值是 ( )
A. B. C. D.π
2.函数f(x)=sin的单调递减区间为 .
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到“f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数〞想到化简f(x)解析式,[0,a]是某个减区间的子集
2
看到“f(x)=sin〞想到运用诱导公式转化为f(x)=-sin
【解析】1.选C.f(x)=cos x-sin x=cos在上单调递减,
所以[0,a]⊆,故0<a≤.
2.f(x)=-sin,欲求f(x)单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
【思维多变】
假设f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,那么a的最大值是 ( )
A. B. C. D.π
【解析】选A.f(x)=cos x-sin x=cos在上单调递减,所以[-a,a]⊆,故-a≥-且a≤,解得0<a≤.
1.求三角函数单调区间的方法
首先化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可.
2.单调区间求参数的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间,由区间是该区间的子集,列不等式(组)求解
求补
集法
由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解
周期
性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
1.(2023·侯马模拟) 函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=时取得最小值,那么f(x)在[0,π]上的单调递增区间是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为0<θ<π,所以<+θ<,又因为f(x)=cos(x+θ)在x=时取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos.由0≤x≤π,得≤x+≤.由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间是.
2.假设函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么ω= .
【解析】因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx是减函数.由=,所以ω=.
答案:
考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.
(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.
2.怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等.
3.新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.
学
霸
好
方
法
求周期的三种方法
(1)利用周期函数的定义:
f(x+T)=f(x).
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(3)利用图像:图像重复的x轴上一段的长度.
①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
周期性
【典例】
1.(2023·全国卷Ⅱ)假设x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,那么ω= ( )
A.2 B. C.1 D.
2.(2023·北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .
【解析】1.选A.由于x1=,x2=是函数两个相邻的极值点,故=-=,所以T=π,即ω==2.
2.f(x)=(1-cos 4x),最小正周期T==.
答案:
涉及三角函数的性质问题有哪些考前须知?
提示:(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.
(2)掌握一些简单函数的周期:如:
①y=Asin(ωx+φ)的周期为.
②y=Atan(ωx+φ)的周期为.
③y=|sin x|的周期为π.
④y=|tan x|的周期为π.
奇偶性、对称性
【典例】(2023·全国卷Ⅱ)以下函数中,以为周期且在区间单调递增的是 ( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【解析】选A.分别画出函数的图像可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图像的升降情况可得A正确.
1.函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为 ( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选C.y=sin 2x+cos 2x=2sin,T==π.
2.(2023·渭南模拟) 同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图像关于直线x=对称;③在上是增函数;④图像的一个对称中心为〞的一个函数是 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
【解析】选C.因为最小正周期是π,排除A选项;当x=时,对于B, y=sin=0,对于D,y=sin=,因为图像关于直线x=对称,所以排除B、D选项,对于C,sin=1,sin=0,且在上是增函数,故C满足条件.
3.(2023·江苏高考)函数y=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,那么φ的值是 .
【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k∈Z),
φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.
答案:-
1.函数f(x)=cos(ωx+φ)的局部图像如下图,那么f(x)的单调递减区间
为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选D.由五点法作图知,解得
所以f(x)=cos,令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,
k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
【一题多解】选D.由图像知T=2×=2,当x==时,f(x)取得最小值,因为T=2,所以当x=-1=-时取到最大值.所以f(x)的一个单调递减区间为,f(x)单调递减区间为,k∈Z.
2.(2023·洛阳模拟)函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x∈R,那么以下说法正确的选项是 ( )
A.函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]
D.函数f(x)在区间上是增函数
【解析】选C.对于A,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sin x)
+cos(-sin x)=-sin(sin x)+cos(sin x)≠f(x),A错误;对于B, f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sin x)+cos(sin x)≠-f(x),
B错误;对于C,令t=sin x,那么t∈[0,1],y=sin t+cos t=sin∈[1,],C正确;
对于D,f(x)=sin,令t=sin x+,
那么t=sin x+在上单调递增,
t∈,但外层函数y=sin t在上并不具有单调性,所以D错误.
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