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考点规范练16 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考点规范练B册第10页
基础巩固组
1.设集合A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B等于( )
A.{小于90°的角} B.{0°~90°的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
答案:D
解析:小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成,又{0°~90°的角}为{θ|0°≤θ<90°},故A,B,C项都不对.
2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )
A. B.
C.- D.-
答案:A
解析:将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,∴C,D不正确.
又∵拨慢10分,∴转过的角度应为圆周的,即为×2π=.
3.(2015西安模拟)如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )
A. B.sin 0.5 C.2sin 0.5 D.tan 0.5〚导学号32470741〛
答案:A
解析:连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为,这个圆心角所对的弧长为.故选A.
4.若角α和角β的终边关于x轴对称,则角α可以用角β表示为( )
A.2kπ+β(k∈Z) B.2kπ-β(k∈Z)
C.kπ+β(k∈Z) D.kπ-β(k∈Z)
答案:B
解析:因为角α和角β的终边关于x轴对称,所以α+β=2kπ(k∈Z).所以α=2kπ-β(k∈Z).
5.若sin αtan α<0,且<0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:C
解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角.
由<0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.
6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]〚导学号32470742〛
答案:A
解析:由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-2<a≤3.
7.已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin,故α=2kπ-(k∈Z),所以α的最小正值为.
8.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关;
④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;
⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4〚导学号32470743〛
答案:A
解析:由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但的终边不相同,故④错;当θ=π,cos θ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.
综上可知,只有③正确.
9.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+的值为 .
答案:0
解析:设角α终边上任一点为P(k,-3k),则r=|k|.
当k>0时,r=k,
∴sin α==-,
∴10sin α+=-3+3=0;
当k<0时,r=-k,
∴sin α==-,
∴10sin α+=3-3=0.
综上,10sin α+=0.
10.已知角α的终边上有一点的坐标为,若α∈(-2π,2π),则所有的α组成的集合为 .
答案:
解析:因为角α的终边上有一点的坐标为,所以角α为第四象限角,且tan α=-,即α=-+2kπ,k∈Z,因此落在(-2π,2π)内的角α的集合为.
11.若α是第三象限角,则y=的值为 .
答案:0
解析:∵α是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z),
∴kπ+<kπ+(k∈Z),
∴角在第二象限或第四象限.当在第二象限时,y==0;
当在第四象限时,y==0.
综上,y=0.
12.已知扇形周长为40,当扇形面积最大时,它的半径和圆心角分别为 .
答案:10,2
解析:设扇形的半径为r,圆心角为θ,
则rθ+2r=40.
∴扇形的面积S=θr2=(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.
∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.
∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
能力提升组
13.(2015上海,文17)已知点A的坐标为(4,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为( )
A. B.
C. D.〚导学号32470744〛
答案:D
解析:设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为+α,
因为A(4,1),所以tan α=,tan,即m2=n2,
因为m2+n2=+12=49,
所以n2+n2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为.
14.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
答案:D
解析:如图所示,
由三角函数线可知选D.
15.若θ是第二象限角,则 0.(填“>”“<”或“=”)
答案:<
解析:∵θ是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1,
∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,∴<0.
16.函数y=的定义域是 .
答案:(k∈Z)
解析:由题意知
由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
17.已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在θ角的终边上(不是原点),则的值等于 .〚导学号32470745〛
答案:
解析:由题意知角θ的终边与240°角的终边相同,
又∵P(x,y)在角θ的终边上,
∴tan θ=tan 240°=,
于是.
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